極限章節(jié)的應(yīng)用部分主要分為兩點(diǎn)。第一是極限比階問題。比階問題的一個(gè)重要應(yīng)用就是反常積分審斂法。反常積分申斂的核心不在積分而在于極限比階。而且這種題目的難度被高估的非常嚴(yán)重，其實(shí)是一類非常簡單的題目，可能我會在之后詳細(xì)介紹。另一個(gè)就是連續(xù)性問題。這個(gè)問題也是貫穿始終的，而且包含兩個(gè)方面。一個(gè)是連續(xù)性，一個(gè)是間斷點(diǎn)。針對抽象函數(shù)習(xí)慣于判斷連續(xù)性，研究對象包含函數(shù)各種運(yùn)算的連續(xù)性，比如求和求積復(fù)合的連續(xù)性。而且還會判斷祖孫三代的連續(xù)性，比如導(dǎo)函數(shù)連續(xù)性，變限積分連續(xù)性等等。針對間斷點(diǎn)則是多針對于具體函數(shù)。其實(shí)從間斷點(diǎn)出發(fā)可以歸納出考研數(shù)學(xué)?？嫉奶厥恻c(diǎn)體系。 (1)無定義點(diǎn)。大家普遍對無定義點(diǎn)的認(rèn)知其實(shí)是有問題的，所以會導(dǎo)致很多概念性的問題。首先需要明確的一點(diǎn)是我們研究函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候是基于定義區(qū)間的，無定義點(diǎn)，無定義區(qū)間找出來是用來丟掉的。我們不去研究包含無定義點(diǎn)，無定義區(qū)間的函數(shù)性質(zhì)。這是原則。最能體現(xiàn)這個(gè)原則的就是導(dǎo)函數(shù)。導(dǎo)函數(shù)存在的意思就是函數(shù)在區(qū)間處處可導(dǎo)，也就是導(dǎo)函數(shù)處處有定義，如果存在不可導(dǎo)點(diǎn)，那么函數(shù)在包含不可導(dǎo)點(diǎn)的區(qū)間是沒有導(dǎo)函數(shù)的。這就體現(xiàn)出不研究無定義點(diǎn)，無定義區(qū)間的原則。其實(shí)函數(shù)也一樣。我們?nèi)パ芯亢瘮?shù)的性質(zhì)其實(shí)需要去丟掉那些無定義點(diǎn)，無定義區(qū)間，因?yàn)檠芯窟@些地方?jīng)]有意義。 怎么去尋找無定義點(diǎn)？很容易找漏。其實(shí)秘訣就是基于基本初等函數(shù)的性質(zhì)按一定的順序查找即可。如： 1: 冪函數(shù)。這主要注意兩種類型。第一，開奇次方根，根號內(nèi)部小于0是無定義區(qū)間，第二，分母為0的點(diǎn)是無定義點(diǎn)。 2：指數(shù)函數(shù)。定義域?yàn)镽，沒有無定義點(diǎn)。但是指數(shù)函數(shù)在極限計(jì)算中容易出極限趨向方向問題。 3：對數(shù)函數(shù)。≤0為無定義區(qū)間。而出現(xiàn)絕對值和平方時(shí)，如ln|x|，lnx2，x＝0為無定義點(diǎn)。 4：三角函數(shù)。tanx、secx，x＝kπ+?π無定義。cotx，x＝?kπ無定義。cscx，x＝kπ無定義。 5：反三角函數(shù)。arcsinx、arccosx，在x＞1時(shí)以及x＜-1時(shí)無定義。arctanx、arccotx定義域?yàn)镽，注意極限計(jì)算的趨向方向問題。arcsecx、arccscx，在-1＜x＜1時(shí)無定義。 6：復(fù)合函數(shù)f(g(x))。從里到外層層遞進(jìn)。先找g(x)無定義點(diǎn)，再找f(u)無定義點(diǎn)u0，令g(x)＝u0。 (2)間斷點(diǎn)?？梢砷g斷點(diǎn)包含無定義點(diǎn)和分段函數(shù)分段點(diǎn)。無定義點(diǎn)一定是間斷點(diǎn)。但是就如同我之前說的，一定要將無定義點(diǎn)和其他間斷點(diǎn)從概念上分開。間斷點(diǎn)是可以有定義的。這就像概率論里面的不可能事件和概率為0的事件一樣。概率為0的事件包括不可能事件。但是我們研究概率論永遠(yuǎn)是在可能事件上進(jìn)行研究。研究一個(gè)不可能事件的概率是沒有意義的。概率本身就是對可能性事件中可能性大小的假設(shè)。研究函數(shù)性質(zhì)，也包括連續(xù)性，其實(shí)應(yīng)該把無定義點(diǎn)，無定義區(qū)間丟棄的。 (3)不可導(dǎo)點(diǎn)?？梢刹豢蓪?dǎo)點(diǎn)其實(shí)可以包含分段函數(shù)分段點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)結(jié)果的無定義點(diǎn)。 (4)極值點(diǎn)?？梢蓸O值點(diǎn)包括不可導(dǎo)點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。判斷極值的方法就是極值定義。其中極值定義最常與兩個(gè)內(nèi)容結(jié)合。一個(gè)是泰勒公式，這就是大家記的極值導(dǎo)數(shù)結(jié)論的由來，一個(gè)是極限保號性。 (5)最值點(diǎn)?？梢勺钪迭c(diǎn)包括極值點(diǎn)以及端點(diǎn)。 可以看出這些特殊點(diǎn)的判斷都是層層遞進(jìn)的。不同類別特殊點(diǎn)之間存在關(guān)聯(lián)，所以做了一個(gè)匯總。其他的自行補(bǔ)充吧。