歐幾里得27、悖、論、悖論，畢達哥拉斯悖論，第一次數學危機產生的原因

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“邊長1的正方形的對角線長度無法用整數或分數表示出來”，這個簡單的數學事實的發(fā)現，使畢達哥拉斯學派的人感到迷惑不解。它不僅違背了畢達哥拉斯派的信條，而且沖擊著當時希臘人持有的“一切量都可以用有理數表示”的信仰。

…事、實、事實：見《歐幾里得6、7》…

…信條：忠實遵守的準則…

…畢達哥拉斯派的信條：萬物皆數（萬物都可以用整數或分數表示）。見《歐幾里得20》…

…信、仰、信仰：見《歐幾里得15》…

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這就形成了悖（bèi）論，人們稱之為畢達哥拉斯悖論（也叫希帕索斯悖論）。這次悖論直接導致了認識上的危機，從而產生了第一次數學危機。

…悖：形聲。從心，孛（bèi）聲。本義：違反，違背。

字義：1.相反；違反：并行不～。

2.違背道理；錯誤：～謬…

[…形聲：一種造字法…是說字由“形”和“聲”兩部分合成，形旁和全字的意義有關，聲旁和全字的讀音有關。如由形旁“氵（水）”和聲旁“工、可”分別合成“江、河”…]

…論：見《歐幾里得3》…

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悖論：邏輯學指可以同時推導或證明兩個互相矛盾的命題的命題或理論體系。

…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…

…推、導、推導：見《歐幾里得7》…

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

…命題：見《歐幾里得2》…

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…

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…體（繁體字為“軆”）：形聲。從骨，豊（lǐ）聲。今簡化為“體”。本義：身體。

字義：1.人、動物的全身：身～?！??！珳??！|。～征（醫(yī)生在檢查病人時所發(fā)現的異常變化）。～能?！病！牵w格和精力）。～育?！珶o完膚。

2.身體的一部分：四～。五～投地。

3.事物的本身或全部：物～。主～。群～。

4.物質存在的狀態(tài)或形狀：固～。液～?！e。

5.文章或書法的樣式、風格：～裁（文學作品的表現形式，可分為詩歌，散文，小說，戲劇等）。字～。

6.事物的格局、規(guī)矩：～系。～制。

7.親身經驗、領悟：～知（親自查知）?！丁Ｉ怼π校▁íng）。

8.設身處地為人著想：～諒。～貼?！簟?/p>

…系：見《歐幾里得25》…

…體系：若干有關事物或某些意識互相聯系而構成的一個整體：防御～。工業(yè)～。思想～…

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據說，希帕索斯由于發(fā)現了無理數，從而遭到了畢達哥拉斯學派的追殺。他雖逃到了埃及，但幾年之后，在回國途中，還是被人扔到海里淹死了。

…無：無，篆（zhuàn）文（圖A）在（圖B）[兀（禿頭）]上加一橫，強調“兀（wù）”的程度，造字本義：形容詞，頭頂全禿，沒有頭發(fā)?！柏！笔嵌d頂；“無”是光頭。

字義：

1.沒有（跟“有”相對）：從～到有。～產階級。有則改之，～則加勉。

2.不：～論?！殹?/p>

3.不論：事～大小，都有人負責…

…無理數：也稱無限不循環(huán)小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無限多個，并且不會循環(huán)。 常見的無理數有非完全平方數的平方根[如√2（根號二）]、π（圓周率）等。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希帕索斯發(fā)現…

（…完全平方數：指可以寫成某個整數的平方的數。如9 =3×3，9就是平方數…）

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200年后，約在公元前370年，柏拉圖的學生歐多克斯（Eudoxus，約公元前408—前355）解決了關于無理數的問題。他采用了一個十分巧妙的關于“兩個量之比”的新說法，回避了無理數的實質，用幾何的方法去處理不可公度比。他處理不可公度的辦法，被歐幾里得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄。并且和狄德金于1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致。

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…量：[liāng]

1.限度：膽～。力～。

2.數量：降雨～。產～。

3.估計；衡量：～力而行。

4.哲學范疇。指事物存在和發(fā)展的規(guī)模、程度、速度等，即：可以用數量表示的規(guī)定性，如多少、大小、高低、輕重、快慢等。

[liáng]【動詞】形聲。本義：用量器計算容積或長度。

1.用器具確定東西的多少、長短或其他性質：～地。～血壓。

2.估計；衡量：打～。思～…

…比：在甲骨文（圖A）和鐘鼎文（圖B）里，是兩個親近的人，緊靠相依，并肩向前，這正是“比”的本義：緊靠、親近、比并。發(fā)展到秦代小篆（zhuàn）（圖C），“比”的形體像小兩口彎著腰垂手過膝向來賓們鞠躬致謝。這個字發(fā)展到漢隸（lì）（圖D）階段，彎腰鞠躬的一對變成平坐搭肩的一對?？瑫氨取保▓DE），平坐搭肩的姿式沒有變，由此產生出并列、挨著、接近等引申義。

字義：1.比較；較量：～干勁。學先進，～先進。

2.能夠相比：近鄰～親。堅～金石。演講不～自言自語。

3.比畫：連說帶～。

4.對著；向著：別拿槍～著人，小心走火。

5.仿照：～著葫蘆畫瓢（比喻模仿著做事）。

6.比方；比喻：人們常把聰明的人～做諸葛亮。

7.兩個同類量之間的倍數關系，叫做它們的比，其中一數是另一數的幾倍或幾分之幾：這里的小麥年產量和水稻年產量約為一～四。

8.表示比賽雙方得分的對比：甲隊以二～一勝乙隊。

9.a）“一”加量詞在“比”的前后重復，可以表示程度的累進：國民的生活一年～一年富裕了。b）比較高下的時候用“比”，表示異同的時候一般用“跟”或“同”。

10.緊靠；挨著：～肩。鱗（lín）次櫛（zhì）～。

11.依附；勾結：朋～為奸…

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““‘正方形邊長為1時，對角線長多少？’，這個問題出現后，不僅在算術上引發(fā)危機（無法用整數或分數將邊長1的正方形的對角線長度表示出來），也在幾何上引發(fā)了危機…”中學生說，“曾有一段時間，人們不知道‘邊長1的正方形的對角線’是什么…”

請看下集《歐幾里得28、定義，幾、何、幾何，危、機、危機，幾何危機》”

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