【趣味數(shù)學(xué)題】復(fù)變函數(shù)積分

2021-09-19 12:44 作者:AoiSTZ23 0人讀過(guò) | 我要投稿

鄭濤（Tao Steven Zheng）著

【問(wèn)題】

使用以下不定積分（indefinite integral）

$%5Cint%20%7Be%7D%5E%7B(a%2Bib)x%7D%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7B(a%2Bib)x%7D%7D%7Ba%2Bib%7D$

來(lái)同時(shí)推算出 $%5Cint%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%5Csin(bx)%20dx$ 和 $%5Cint%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%5Ccos(bx)%20dx%20$ 。

【題解】

由 $%20%7Be%7D%5E%7B(a%2Bib)x%7D%20%3D%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5B%5Ccos(bx)%20%2B%20%20i%5Csin(bx)%5D$ ，

$%5Cint%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5B%5Ccos(bx)%20%2B%20%20i%5Csin(bx)%5D%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7B(a%2Bib)x%7D%7D%7Ba%2Bib%7D$

$%5Cint%20e%5E%7Bax%7D%5Ccos(bx)dx%20%2B%20%20i%20%5Cint%20e%5E%7Bax%7D%5Csin(bx)%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5B%5Ccos(bx)%20%2B%20%20i%5Csin(bx)%5D%7D%7Ba%2Bib%7D$

將分子和分母乘以右邊的共軛復(fù)數(shù)（complex conjugate）。

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cint%20e%5E%7Bax%7D%5Ccos(bx)dx%20%2B%20%20i%20%5Cint%20e%5E%7Bax%7D%5Csin(bx)%20dx%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5B%5Ccos(bx)%20%2B%20%20i%5Csin(bx)%5D(a-ib)%7D%7B(a%2Bib)(a-ib)%7D%5C%5C%0A%26%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7Bax%7D%7D%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%20%5Ba%5Ccos(bx)%20%2B%20%20ia%5Csin(bx)-ib%5Ccos(bx)%20%2B%20b%5Csin(bx)%5D%5C%5C%0A%5Cend%7Balign%7D$

通過(guò)匹配實(shí)數(shù)項(xiàng)（real terms）和復(fù)數(shù)項(xiàng)（complex terms），并加上積分中的任意常數(shù)（arbitrary constant），我們可以得出以下結(jié)論：

$%5Cint%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%5Csin(bx)%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5Ba%5Csin(bx)%20-%20%20b%5Ccos(bx)%5D%7D%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%0A%20%2B%20C$

和
$%5Cint%20%7Be%7D%5E%7Bax%7D%5Ccos(bx)%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Be%7D%5E%7Bax%7D%20%5Ba%5Ccos(bx)%20%2B%20%20b%5Csin(bx)%5D%7D%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%7D%0A%20%2B%20C%20$