【數(shù)學(xué)競賽-復(fù)數(shù)】別讓三角太囂張，復(fù)數(shù)才是最屌的

2023-08-27 19:49 作者:Rotas-math_lover 0人讀過 | 我要投稿

在小學(xué)二年級時，我們就學(xué)過歐拉公式

$e%5E%7Bi%5Ctheta%7D%3D%5Ccos%5Ctheta%2B%5Crm%7Bi%7D%5Csin%5Ctheta$

這個公式很好地將三角函數(shù)和復(fù)數(shù)聯(lián)系在了一起，這也意味著很多三角問題可以轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)問題來做，就比如下面這道題

已知 $%5Csin%5Calpha%EF%BC%8B%5Csin%5Cbeta%2B%5Csin%5Cgamma%3D%5Ccos%5Calpha%2B%5Ccos%5Cbeta%2B%5Ccos%5Cgamma%3D0$ ，求證： $%5Csin2%5Calpha%2B%5Csin2%5Cbeta%2B%5Csin2%5Cgamma%3D%5Ccos2%5Calpha%2B%5Ccos2%5Cbeta%2B%5Ccos2%5Cgamma%3D0$

初看這道題可能就直接二倍角展開了，但是嘗試過后發(fā)現(xiàn)并沒有什么用

此時觀察題目條件和結(jié)論，它們有一個共同的特點，即正弦和與余弦和都等于0

而在復(fù)數(shù)中，我們知道一個復(fù)數(shù)要等于0，那么其實部和虛部都要等于0

所以我們不妨設(shè) $z_1%3D%5Ccos%5Calpha%2B%5Crm%7Bi%7D%5Csin%5Calpha%EF%BC%8Cz_2%EF%BC%9D%5Ccos%5Cbeta%2B%5Crm%7Bi%7D%5Csin%5Cbeta%EF%BC%8Cz_3%EF%BC%9D%5Ccos%5Cgamma%2B%5Crm%7Bi%7D%5Csin%5Cgamma$

那么條件就可以轉(zhuǎn)化為 $z_1%EF%BC%8Bz_2%EF%BC%8Bz_3%EF%BC%9D0$ ，我們能夠發(fā)現(xiàn)這個轉(zhuǎn)化實際上非常巧妙，因為這樣就將原題中的三個等式轉(zhuǎn)化成了一個等式

不僅如此，根據(jù)棣莫弗公式得到我們只需證明 $z_%7B1%7D%5E2%EF%BC%8Bz_%7B2%7D%5E2%EF%BC%8Bz_%7B3%7D%5E2%EF%BC%9D0$ ，也是進行了極大的簡化

然后根據(jù)恒等式

$z_%7B1%7D%5E2%EF%BC%8Bz_%7B2%7D%5E2%EF%BC%8Bz_%7B3%7D%5E2%EF%BC%9D(z_1%EF%BC%8Bz_2%EF%BC%8Bz_3)%5E2%EF%BC%8D2(z_%7B1%7Dz_%7B2%7D%2Bz_%7B2%7Dz_%7B3%7D%2Bz_%7B3%7Dz_%7B1%7D)$

可知我們只需證 $z_%7B1%7Dz_%7B2%7D%EF%BC%8Bz_%7B2%7Dz_%7B3%7D%EF%BC%8Bz_%7B3%7Dz_%7B1%7D%EF%BC%9D0$ 即可，這個東西乍看之下不太好做，但是注意到 $z_%7B1%7D%E3%80%81z_%7B2%7D%E3%80%81z_%7B3%7D$ 都是單位復(fù)數(shù)，那么我們應(yīng)該要用到 $z%5Cbar%7Bz%7D%EF%BC%9D1$ 這個性質(zhì)，結(jié)合所求，我們不難想到提取 $z_%7B1%7Dz_%7B2%7Dz_%7B3%7D$ ，得到

$%5Cbegin%7Balign%7D%0Az_%7B1%7Dz_%7B2%7D%2Bz_%7B2%7Dz_%7B3%7D%2Bz_%7B3%7Dz_%7B1%7D%20%26%20%3Dz_%7B1%7Dz_%7B2%7Dz_%7B3%7D%5Cleft(%5Cdfrac%7B1%7D%0A%7Bz_%7B1%7D%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bz_%7B2%7D%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bz_%7B3%7D%7D%5Cright)%5C%5C%0A%20%26%20%3Dz_%7B1%7Dz_%7B2%7Dz_%7B3%7D(%5Coverline%7Bz_1%2Bz_2%2Bz_3%7D)%5C%5C%0A%20%26%20%3D0%0A%5Cend%7Balign%7D$

到此證畢

此外，復(fù)數(shù)再證明一些三角恒等式中也大有幫助，因為根據(jù)歐拉公式可以得到

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7Be%5E%7B%5Crm%7Bi%5Ctheta%7D%7D%2Be%5E%7B%5Crm%7Bi%5Ctheta%7D%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%0A%5Csin%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7Be%5E%7B%5Crm%7Bi%5Ctheta%7D%7D-e%5E%7B%5Crm%7Bi%5Ctheta%7D%7D%7D%7B2%5Crm%7Bi%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$