運用雙篩法證明：每個大于等于6的偶數(shù)都是2個奇素數(shù)之和

崔坤

中國青島，266200，E-mail:cwkzq@126.com

摘要：根據(jù)古老的埃氏篩法推出雙篩法，對所得真值公式：r2(N)=(N/2)∏mr進行下限值估計，從而證明了r2(N)≧[N/(lnN)^2],即證明了每個大于等于6的偶數(shù)都是2個奇素數(shù)之和

關(guān)鍵詞：埃氏篩法，雙篩法，素數(shù)定理，共軛數(shù)列,真實剩余比

Cuikun

Qingdao,China,266200, E-mail:cwkzq@126.com

The double screen method is used to prove that:

Every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes

Abstract: the double sieve method is derived from the ancient Ehrlich sieve method, and the lower limit of the truth formula: r2 (N) = (N / 2) Πmr is estimated. It is proved that r2 (N) ≥ [N / (lnN) ^ 2],

That is, it is proved that every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes

Key words: Ehrlich sieve method, double sieve method, prime theorem, conjugate sequence,True residual ratio

證明：

對于共軛互逆數(shù)列A、B:

A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝

B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝

雙篩法的步驟：

首先給出：偶數(shù)N=2n+4，建立如下互逆數(shù)列：

首項為1，末項為N-1,公差為2的等差數(shù)列A

再給出首項為N-1,末項為1，公差為-2的等差數(shù)列B

顯然N=A+B

根據(jù)埃氏篩法獲得奇素數(shù)集合P：

｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<N^1/2

為了獲得偶數(shù)N的(1+1)表法數(shù)，按照雙篩法進行分步操作：

第1步：將互逆數(shù)列用3雙篩后得到真實剩余比m1

第2步：將余下的互逆數(shù)列用5雙篩后得到真實剩余比m2

第3步：將余下的互逆數(shù)列用7雙篩后得到真實剩余比m3

…

依次類推到：

第r步：將余下的互逆數(shù)列用Pr雙篩后得到真實剩余比mr

這樣就完成了對偶數(shù)N的求雙篩法（1+1）表法數(shù)，根據(jù)乘法原理有：

r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr

即r2(N)=(N/2)∏mr

例如：

[√70]=8，｛Pr｝={1,3,5,7},

3|/70，m1=13/35

5|70, m2=10/13

7|70, m3=10/10

根據(jù)真值公式得：

r2(70)

=(70/2)*m1*m2*m3

=35*13/35/10/13*10/10

=10

r2(70)=10

分析雙篩法的邏輯和r2(N)下限值：

雙篩法本質(zhì)上第一步:先對A數(shù)列篩選，根據(jù)素數(shù)定理，A中至少有[N/lnN]個奇素數(shù)，

即此時的共軛互逆數(shù)列AB中至少有[N/lnN]個奇素數(shù)

第二步:再對B數(shù)列進行篩選，篩子是相同的1/lnN

由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:r2（N）≥[N/（lnN）^2]個奇素數(shù)。

例如：70

第一步:先對A數(shù)列篩選，A中至少有[N/lnN]=[70/ln70]=16個奇素數(shù),π(70)=19,

即此時的共軛互逆數(shù)列AB中至少有[N/lnN]=[70/ln70]=16個奇素數(shù)。

第二步:再對B數(shù)列進行篩選，篩子是相同的1/ln70,由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:

r2（70）≥[70/（ln70）^2]=3個奇素數(shù),r2(70)=10

不難看出所給的數(shù)列一共有3個，

第一個是A數(shù)列，其中至少有N/lnN個奇素數(shù)；

第二個是與A共軛的B數(shù)列，其中至少有[N/lnN]個奇素數(shù)；

第三個是AB數(shù)列,其中至少有2[N/lnN]個奇素數(shù)。

結(jié)論:r2（N）≥[N/（lnN）^2]個奇素數(shù)。

參考文獻：

[1]華羅庚，《數(shù)論導引》，科學出版社，1957-07

[2]王元，《談談素數(shù)》，哈爾濱工業(yè)大學出版社，2011-3

[3]李文林，《數(shù)學瑰寶——歷史文獻精選》，科學出版社，1998 年，第 368 頁