實(shí)際上量子力學(xué)里比較難接受的概念是 "使用波函數(shù)描述粒子", 那么你說的這個(gè)波函數(shù)究竟是什么呢

可能有很多人不能接受 "能量是分立的而不是連續(xù)的" 這個(gè)概念, 實(shí)際上這個(gè)東西是數(shù)學(xué)推導(dǎo)時(shí)自然而然出現(xiàn)的, 而不是量子力學(xué)本來就這么規(guī)定的

波函數(shù)其實(shí)就是一個(gè)普通的復(fù)值函數(shù), 輸入是空間的一點(diǎn)(x,y,z), 輸出的是關(guān)于粒子可能性和輻角的一個(gè)復(fù)數(shù), 一個(gè)復(fù)數(shù)除了看作是a+bi, 更經(jīng)常會看作 L*e^iθ

在波函數(shù)里, L^2代表了粒子出現(xiàn)在這個(gè)點(diǎn)的概率, 而θ在更深的關(guān)系里代表了粒子的動量(速度)

這里有一條視頻可以直觀地理解波函數(shù)是什么, 它和粒子的概率和動量有什么關(guān)系

Visualization of Quantum Physics (Quantum Mechanics)

https://www.youtube.com/watch?v=p7bzE1E5PMY (b站內(nèi)有人搬運(yùn)生肉, 我就懶得貼地址了)

可能會有人問: 既然是計(jì)算概率, 為什么要那么復(fù)雜搞一個(gè)復(fù)值函數(shù)呢, 明明概率是實(shí)數(shù)

在數(shù)學(xué)里面, 有一個(gè)很神奇的操作: 可以把兩個(gè)看起來有某種聯(lián)系的量合拼成一個(gè)復(fù)數(shù) (比如說之前傅里葉級數(shù)里面說到的, 正弦函數(shù)的增幅和輻角兩個(gè)量在經(jīng)過繁瑣的化簡后得到了只含一個(gè)復(fù)常量的傅里葉級數(shù))

而在量子力學(xué)中, 粒子的動量可以推動粒子概率的演化, 那么把動量和概率合拼成一個(gè)復(fù)值函數(shù)不就更加方便計(jì)算了嗎 (不會的, 到頭來你贏的是計(jì)算, 輸?shù)氖穷^發(fā))

波函數(shù)需要有兩個(gè)注意的地方, 在上面視頻截圖中, 藍(lán)色線條旋轉(zhuǎn)的頻率就是這個(gè)粒子的動量, 還有就是藍(lán)色部分的體積就是粒子的概率, 并且總體積永遠(yuǎn)等于1

薛定諤方程是哪里來的傻{嗶---}東西 (推薦跳過)

***? 事實(shí)上, 我是完全沒有學(xué)過波動光學(xué)的, 這里大部分東西都是套用維基的 ***

在經(jīng)典力學(xué)中, 一個(gè)物體的總能量E可以表示為動能T和勢能V的和

在波動力學(xué)中, 最普通的復(fù)值平面波表達(dá)為以下算式

對這個(gè)平面波分別對位置和時(shí)間求偏導(dǎo)得到:

其中, ▽^2是拉普拉斯算子

對位置求位置偏導(dǎo)這部分與動量有關(guān), 根據(jù)德布羅意提出的物質(zhì)波

那么得到

而對時(shí)間求偏導(dǎo)的這一部分與能量有關(guān), 根據(jù)愛因斯坦提出的光波的能量關(guān)系式

那么得到

在經(jīng)典力學(xué)的能量方程中, 左右同乘以ψ, 再把上述結(jié)果代入得到

在經(jīng)典力學(xué)中有一個(gè)叫做哈密頓算符H的東西, 這個(gè)算符用于計(jì)算系統(tǒng)的總能量, 而同理量子力學(xué)中也存在一個(gè)哈密頓算符H_hat, 用于計(jì)算粒子的總能量那么以下式子可以寫為

其中

比較詳細(xì)地解讀薛定諤方程

把薛定諤方程寫完整就是這個(gè)樣子的

基本常數(shù): i是虛數(shù)單位, h_bar是約化普朗克常數(shù), 等于普朗克常數(shù)h除以2π, 大約為1.0545718x10^-34 m^2?kg / s

必要數(shù)據(jù): m是粒子的質(zhì)量, V(x, t)是整個(gè)宇宙對粒子產(chǎn)生影響的勢, 這里假設(shè)勢會隨時(shí)間變化而變化, 不過一般計(jì)算不會這樣假設(shè)??勢: 考慮電磁力, 引力等因素綜合出來的一個(gè)場(函數(shù)), 并且已知萬物都會傾向于往低勢的地方移動

算符:?▽^2拉普拉斯算符 (實(shí)際上拉普拉斯算符寫法是這樣的△, 而▽叫做微分算符, 不過需要牢記▽^2和△是同一個(gè)東西),??/?t偏導(dǎo)算符, 整個(gè)東西說明了波函數(shù)ψ在下一瞬間的狀態(tài)跟現(xiàn)在的狀態(tài)相差了多少, 波函數(shù)的演化(隨時(shí)間變化)完全由偏導(dǎo)算符確定

波函數(shù)ψ:?一個(gè)包含粒子概率和動量的函數(shù)

一般愉快的玩耍過程

1.隨便找一個(gè)不含時(shí)的復(fù)值函數(shù)(無窮處為0), 2.計(jì)算這個(gè)函數(shù)的模并把函數(shù)除以模的平方

這時(shí)候f已經(jīng)符合了波函數(shù)的要求:?

然后再隨便規(guī)定一個(gè)不含時(shí)的勢函數(shù)V, 當(dāng)然也可以直接設(shè)置為0 (勢V為0解出來的波函數(shù)為自由粒子的函數(shù), 而V不為0的話一般解出來是有無窮個(gè)波函數(shù), 每一個(gè)函數(shù)對應(yīng)著一個(gè)本征能量E, 但這是另一個(gè)話題了)

這時(shí)候就可以愉快地解薛定諤方程了

這個(gè)東西就是傳說中的S-L問題, 解這個(gè)問題也挺簡單的, 只需要把在回合結(jié)束前把fgo從后臺完全退出, 重新進(jìn)入游戲使用技能試圖改變命運(yùn), 這就完成了一次SL

不, 其實(shí)完全不簡單, 至于怎么解這個(gè)問題(Sturm-Liouville problem), 對于不同的V擁有不同的解法

接下來的幾篇專欄就來稍微說一下在不同V的狀態(tài)下怎么根據(jù)薛定諤方程求解波函數(shù)