數(shù)組這個(gè)技巧在我們之前其實(shí)介紹過，不過之前的數(shù)組（顯性、隱性、區(qū)塊數(shù)組甚至是跨區(qū)數(shù)組）都是可以直接用的?，F(xiàn)在來看一個(gè)不能直接用的數(shù)組形式。

Part 1 顯性毛刺數(shù)組

我們先來看一則示例。

如圖所示，鏈如下表示：

按照最開始的邏輯，設(shè)r7c6(7)為假，則得到r8c6(7)真、r8c6(1)假、r9c5(1)真、r9c1(1)假。而此時(shí)發(fā)現(xiàn)，r9c1(1)假之后，r9c13形成了3、7顯性數(shù)對。

換句話說，r7c6(7)有兩種填數(shù)情況，其為假時(shí)，得到r9c13(37)顯性數(shù)對結(jié)構(gòu)，換句話說，r9c13(37)顯性數(shù)對在此時(shí)是為真的（結(jié)構(gòu)成立就為真，結(jié)構(gòu)不成立時(shí)為假）。所以r7c6(7)和r9c13(37)（即這個(gè)顯性數(shù)對）之中至少有一個(gè)為真，于是刪除掉它們的交集。那一個(gè)顯性數(shù)對和一個(gè)候選數(shù)怎么找交集呢？

• r7c6(7)為真時(shí)，可以刪的是r7c6所在區(qū)域下所有的單元格（相關(guān)格）內(nèi)的7；

• r9c13(37)為真時(shí)，可以刪的是b7和r9內(nèi)其余單元格的候選數(shù)3和7。

所以對于此題來說，它們的交集，只有r7c1(7)了，所以r7c1 <> 7。

這個(gè)結(jié)構(gòu)是不是很神奇？你會(huì)發(fā)現(xiàn)，在末端嵌入了一個(gè)顯性數(shù)對，但前提是r9c1(1)為假時(shí)，這個(gè)顯性數(shù)對才真正成立，所以它可能并不是一個(gè)真正的數(shù)組，而類似于我們之前學(xué)到的魚鰭的邏輯。所以我們一般稱這種結(jié)構(gòu)叫毛刺顯性數(shù)對或顯性毛刺數(shù)對（Burred Naked Pair），毛刺（Burr）一詞用來表示結(jié)構(gòu)多出來了一點(diǎn)點(diǎn)東西，并使這一點(diǎn)點(diǎn)為假時(shí)，本體結(jié)構(gòu)才真正成立。關(guān)于毛刺，我們還將在鏈的構(gòu)造的內(nèi)容里詳細(xì)談?wù)撍幕具壿嫼退季S方式。

實(shí)際上，毛刺和魚鰭是完全一樣的東西，只是魚鰭一般針對于魚結(jié)構(gòu)，毛刺則針對于其余的非魚結(jié)構(gòu)的技巧。而正是因?yàn)樗鼈內(nèi)绱私咏?，所以毛刺一詞在英文里用的Burr一詞，也動(dòng)詞化，加上了分詞性形容詞的后綴-ed（burred）。

毛刺這個(gè)概念是由中國玩家探長（網(wǎng)名，Borescoper）提出。

Part 2?隱性毛刺數(shù)組

如圖所示。鏈如下所示：

如果r46c1(3)區(qū)塊為假時(shí)，r7c1(3)為真（之前也提到過這一點(diǎn)，區(qū)塊和候選數(shù)的強(qiáng)關(guān)系怎么推導(dǎo)）。于是，r7c1(6)假、r7c3(6)真、r7c3(8)假。觀察c3，我們可以發(fā)現(xiàn)，r7c3(8)為假時(shí)，c3剛好產(chǎn)生78隱性數(shù)對，在r45c3。換句話說，當(dāng)r7c3(8)為假時(shí)，r45c3(78)隱性數(shù)對為真。于是也就得到了r46c1(3)區(qū)塊和r45c3(78)隱性數(shù)對至少一個(gè)為真。

• r46c1(3)區(qū)塊可以刪除的是c1和b4內(nèi)的其余位置的候選數(shù)3；

• r45c3(78)隱性數(shù)對可以刪除的是r45c3內(nèi)其余的候選數(shù)。

所以，它們的交集，應(yīng)該是r45c3(3)。所以r45c3 <> 3。

那么，類比于剛才的顯性毛刺數(shù)組，隱性毛刺數(shù)組（或毛刺隱性數(shù)組，Burred Hidden Subset）指的是差一點(diǎn)形成隱性數(shù)組的情況，比如例子之中的r457c3(78)（別忘了r7c3也有候選數(shù)7哦）。

Part 3?毛刺數(shù)組節(jié)點(diǎn)的真假性

剛才我們接觸到的兩則示例，都是當(dāng)節(jié)點(diǎn)進(jìn)入的時(shí)候使得毛刺數(shù)組為真的結(jié)構(gòu)，我們此時(shí)就接觸了一種新的節(jié)點(diǎn)類型：毛刺數(shù)組。

不過，毛刺數(shù)組為假是個(gè)什么樣子呢？所謂的毛刺數(shù)組為假，就是讓毛刺數(shù)組結(jié)構(gòu)的數(shù)組本身不成立，即破壞數(shù)組。

如何去破壞呢？我們知道，數(shù)組的核心本質(zhì)是“n個(gè)單元格只能填入n種數(shù)字”和“n種數(shù)字只能放在n個(gè)單元格里”，那么破壞的方式很簡單：要么里面有重復(fù)數(shù)字（這顯然不可能，因?yàn)閿?shù)組結(jié)構(gòu)的內(nèi)部是不可能出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字的，一旦出現(xiàn)就違背了數(shù)獨(dú)規(guī)則）；要么里面包含我們不需要的數(shù)字（比如一個(gè)毛刺數(shù)對里包含候選數(shù)1、2、7，如果7不見了就形成了1和2的數(shù)對。那么為了破壞數(shù)對，我們在其中填入數(shù)字7，這樣就破壞了1和2的數(shù)對結(jié)構(gòu)）。只要出現(xiàn)這兩種情況，毛刺數(shù)組就被破壞了，也就稱毛刺數(shù)組為假。

例如我們來看一則毛刺數(shù)組為假的示例。

如圖所示，我們從r5c5(5)開始推理，并假設(shè)其為假。按照順序，我們可以依次得到r7c5(5)為真、r8c4(5)為假、r8c1(5)為真。此時(shí)，當(dāng)r8c1(5)為真后，r89c1不管你怎么填，顯然都是無法形成2和7的隱性數(shù)對了，所以該結(jié)構(gòu)一定為假，故r89c1(27)為假。

接著，當(dāng)毛刺隱性數(shù)對為假的時(shí)候，r4c1(7)就必須為真了?？蛇@是為什么呢？試想一下，毛刺隱性數(shù)對為假之后，由于是2和7的隱性數(shù)對的關(guān)系，按常理說，在c1上的2和7應(yīng)該只能放在r89c1里，但實(shí)際上是7出現(xiàn)了三次（r489c1），而2只有兩次（r89c1），而且此時(shí)經(jīng)過推導(dǎo)，我們已經(jīng)得到了r8c1(5)為真了，此時(shí)r9c1是不得不填入2的，否則c1就放不了2了。那既然r9c1 = 2的話，7就只能放在唯一一處地方：r4c1了，因?yàn)閏1只有r589c1三處位置可以放7。

所以，當(dāng)毛刺數(shù)對節(jié)點(diǎn)為假的時(shí)候，不得不讓這個(gè)r4c1(7)為真，鏈才可以繼續(xù)推導(dǎo)下去。

當(dāng)然，如果你對逆否命題比較熟悉，你可以嘗試使用逆否命題論證：如果我們設(shè)定原命題是“如果2和7的隱性數(shù)對為假，則必須r4c1(7)為真”；那么其逆否命題則是“如果r4c1(7)為假，則2和7的隱性數(shù)對為真”。這是顯然的，因?yàn)閞4c1 <> 7后，c1只有兩處可以放下2和7，而且都是r89c1，所以這兩個(gè)單元格形成關(guān)于2和7的隱性數(shù)對，即隱性數(shù)對為真。所以逆否命題是成立的；既然逆否命題成立，那原命題也成立，所以原命題的論證結(jié)果為真（這實(shí)際上是把這個(gè)強(qiáng)關(guān)系反向來證明了，可以看到，從反向理解這個(gè)邏輯反而比正向理解要簡單，所以建議大家如果不能理解一些邏輯的時(shí)候，嘗試使用逆否命題和原命題等價(jià)的思維來解釋）。

當(dāng)然，這里再給出第三種理解。我們直接把r5c2(7)和r8c1(5)用弱關(guān)系連起來。因?yàn)樗鼈兺娴脑挘琧1將產(chǎn)生三個(gè)單元格只能放下5和7，導(dǎo)致矛盾的出現(xiàn)，所以它們不同真，即形成弱關(guān)系，如圖所示。

Part 4?毛刺數(shù)組的解構(gòu)

實(shí)際上，不論是顯性毛刺數(shù)組還是隱性毛刺數(shù)組，我們都可以通過解構(gòu)的方式，把結(jié)構(gòu)本身解構(gòu)（Deconstruct）為一個(gè)強(qiáng)或弱的ALS。我們舉例說明一下。

如圖所示，這個(gè)鏈比較復(fù)雜，嵌入了一個(gè)毛刺顯性三數(shù)組。

首先假設(shè)r6c56(8)區(qū)塊節(jié)點(diǎn)為假，則r6c89(8)為真，于是r45c7(8)為假。此時(shí)由于r245c7里的8全部沒有了，于是形成顯性三數(shù)組，所以r245c7(156)毛刺顯性三數(shù)組節(jié)點(diǎn)為真，所以數(shù)組為真后可以刪除r7c7(1)，故r7c7(1)為假、r7c7(3)為真、r7c5(3)為假，r9c6(3)為真，r9c6(8)為假，r8c5(8)為真。

所以這個(gè)題目的刪數(shù)在于r45c5(8)，這是頭尾兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的交集。

不過，有些時(shí)候，我們不得不將這個(gè)三數(shù)組解構(gòu)。因?yàn)槿龜?shù)組有些時(shí)候我們不一定能看到，而取而代之地使用ALS的觀察視角。所以實(shí)際上，顯性三數(shù)組將對應(yīng)一個(gè)合格的ALS區(qū)域，如圖所示。

如圖所示，我們將剛才的毛刺顯性三數(shù)組節(jié)點(diǎn)解構(gòu)為了一個(gè)兩個(gè)區(qū)塊節(jié)點(diǎn)的強(qiáng)關(guān)系：r24c7(1)=r45c7(8)，而實(shí)際上，毛刺顯性三數(shù)組里我們也并沒有完整地使用到任何一個(gè)數(shù)字（比如原來的數(shù)組是1、5、6，而實(shí)際上我們涉及的強(qiáng)關(guān)系僅需要1和8就足夠了，5和6根本就沒用到），所以我們可以嘗試解構(gòu)，把毛刺數(shù)組解構(gòu)為上述的ALS區(qū)域的強(qiáng)關(guān)系來使用；反之，有時(shí)候你也可以使用構(gòu)造（Construct），將一個(gè)ALS改為一個(gè)合適的數(shù)組形式，來豐滿結(jié)構(gòu)，使之更容易理解。不過，有些時(shí)候ALS改寫出來的數(shù)組可能不是很符合預(yù)期，所以我們不建議隨時(shí)隨地都使用構(gòu)造。

由于對稱性的約束，顯性毛刺數(shù)組對應(yīng)了強(qiáng)ALS區(qū)域，那么隱性毛刺數(shù)組就對應(yīng)了WALS區(qū)域（即弱ALS）。因?yàn)锳LS用的強(qiáng)關(guān)系，而WALS區(qū)域用的是弱關(guān)系，所以對于隱性毛刺數(shù)組的解構(gòu)用得非常少。但是，你依然可以嘗試從其它層面對毛刺隱性數(shù)組解構(gòu)，比如拆分成多個(gè)單元格，進(jìn)而得到意想不到的東西，例如下面的這則示例。

如圖所示，鏈如下表示：

這個(gè)鏈的精彩之處，是在于鏈的開頭和結(jié)尾。鏈頭是3和8的毛刺隱性數(shù)對，而鏈尾則是56毛刺顯性數(shù)對。那么根據(jù)鏈的證明思路，鏈頭和鏈尾至少有一個(gè)節(jié)點(diǎn)成立。所以，5、6的顯性數(shù)對和3、8的隱性數(shù)對的交集為r3c6(56)，故r3c6 <> 56。當(dāng)然，我們依然可以嘗試解構(gòu)（注意下面的解構(gòu)方式），并得到下面兩條鏈結(jié)構(gòu)：

在上方書寫的兩種形式的開頭，可能你會(huì)覺得鏈的寫法里是不是漏掉了r2c6這格，其實(shí)不然。r3c6(38)=r6c6(8)是成立的，即使是兩個(gè)候選數(shù)和一個(gè)候選數(shù)的特殊強(qiáng)關(guān)系。當(dāng)它們同假時(shí)，r3c6將不會(huì)填入3或8，r6c6也不是8。這樣一來，觀察c6，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，c6內(nèi)填入3和8的位置，就只剩下了r2c6一處，可這樣一格是不夠填3和8兩種數(shù)字的，所以是不行的，強(qiáng)關(guān)系就成立了。

另外，結(jié)尾的強(qiáng)關(guān)系r3c9(8)=r3c49(5)和r3c9(8)=r3c49(6)則直接利用之前的毛刺顯性數(shù)組的解構(gòu)模式進(jìn)行解構(gòu)，所以得到兩個(gè)不同的強(qiáng)關(guān)系，所以有不同的刪數(shù)。當(dāng)然了，如果你嫌別扭，依然還是可以寫作原來的數(shù)對形式的。所以實(shí)際上，這種形式的毛刺數(shù)組就不建議解構(gòu)理解了，不過鏈頭依然是可以解構(gòu)的。

Part 5?毛刺數(shù)組的其它使用方式

5-1?節(jié)點(diǎn)重疊

如圖所示，鏈如下表示：

鏈頭是一個(gè)3和9的毛刺隱性數(shù)對，而到r8c5(4)時(shí)為假，而r8c5(4)和r6c5(3)不可同假，否則c5之中只有一處可填3和4兩種數(shù)字，這顯然是不行的，所以它們不可同假，即r6c5(3)應(yīng)為真。最后得到了r5c9(3)為真，所以鏈頭3和9的毛刺隱性數(shù)對和鏈尾r5c9(3)至少有一個(gè)節(jié)點(diǎn)為真，刪掉它們的交集。39隱性數(shù)對成立時(shí)，刪除r56c9的其余候選數(shù)，而再算上r5c9(3)成立的時(shí)候，能夠刪除的位置只有r5c9的其余候選數(shù)。所以r5c9 <> 67。

這個(gè)例子有些別扭的地方是，鏈頭是一個(gè)毛刺隱性數(shù)組，而鏈尾，則是這個(gè)毛刺隱性數(shù)組里涉及的一個(gè)候選數(shù)，這就好像鏈尾被鏈頭“吃掉了”一樣。

接下來我們再來看一個(gè)示例。

5-2?間接刪數(shù)的鏈

如圖所示，這也是一個(gè)包含節(jié)點(diǎn)重疊的鏈結(jié)構(gòu)，而且和上面那個(gè)示例的方式類似，只是上例用的是顯性毛刺數(shù)組，而這里用的是隱性毛刺數(shù)組。鏈的表述如下：

這條詭異的鏈，就算是寫出來了，也會(huì)發(fā)現(xiàn)r2c3 <> 5。它是怎么刪掉的呢？

我們在之前的不連續(xù)環(huán)里介紹了，節(jié)點(diǎn)和刪數(shù)是弱關(guān)系。所以，只要我們找到鏈頭和鏈尾同時(shí)和可能要?jiǎng)h的這個(gè)節(jié)點(diǎn)都是弱關(guān)系的話，那么刪數(shù)就成立了。那么問題就變?yōu)榱俗C明r7c3(7)-r2c3(5)。

如果你還不能理解為什么“鏈頭和鏈尾和刪數(shù)節(jié)點(diǎn)是弱關(guān)系，那么刪數(shù)成立可以刪”的邏輯的話，你可以這么去想這個(gè)問題。針對于此例而言，如果r7c3(7)和r2c3(5)是弱關(guān)系，就意味著兩者不可同真，也就意味著，當(dāng)r7c3(7)為真的時(shí)候，r2c3(5)就必然為假。這樣就可以說明當(dāng)r7c3 = 7時(shí)，r2c3 <> 5了。

確實(shí)我們有r7c3(7)-r2c3(5)。因?yàn)樗鼈兺鏁r(shí)，觀察c3，針對于4、6、7來說，數(shù)字6就無位置可填了，就這樣矛盾了。所以弱關(guān)系得以成立。

剛才說到了，因?yàn)槿蹶P(guān)系的緣故，所以r7c3(7)為真的時(shí)候，確實(shí)可以確定，r2c3 <> 5。所以，因?yàn)檫@樣的緣故，本應(yīng)該產(chǎn)生的467隱性三數(shù)組也可以刪掉r2c3(5)，所以r2c3 <> 5也是結(jié)論的一部分。

這條鏈的刪數(shù)結(jié)論的說明甚至用到了隱性毛刺數(shù)組才得以解釋，像這樣的鏈結(jié)構(gòu)，不能直接得到全部刪數(shù)的鏈，則可以稱為一種間接刪數(shù)的鏈。

至此，ALS的內(nèi)容就全部結(jié)束了?？梢钥吹?，ALS的例子非常有趣，而且靈活。在我們平時(shí)運(yùn)用和觀察之中，將變得非常有用處。