在上期專欄里, 我們證明了正弦, 余弦, 正切的和角公式與差角公式, 下面, 我們利用這些公式, 繼續(xù)推導(dǎo)其他的恒等式.

8. 倍角公式

默認(rèn)情況下, "倍角公式", 是 "二倍角公式" 的簡(jiǎn)稱.

在和角公式里, 令 α = θ, β = θ, 則

化簡(jiǎn)得:

其中, 余弦的倍角公式, 可變形為:

如果需要計(jì)算 3 倍角, 4 倍角等的三角函數(shù), 只需在和角公式里, 代入不同的值.

9. 半角公式

利用余弦的倍角公式,

可以得到:

令? , 則

① ÷ ② 得:

注意, 半角公式的正負(fù)號(hào), 需要根據(jù)角的范圍來判斷;

比如, 只利用 cos(30°), 計(jì)算 cos(15°), 那么

這里就不需要 "±" 了, 因?yàn)? 15°是銳角, cos(15°) 一定是正的.

如果是, 只用 cos(210°) 來求 cos(105°), 那么

由于 105° 是鈍角, 它的余弦一定是負(fù)值, 所以直接寫 "-".

另外, 正切的半角公式, 還可以變形:

我們注意,

這說明, tan θ 和 sin(2θ) 同號(hào), 因此,

和 符號(hào)相同,

所以,

我們繼續(xù)變形:

所以, 正切的半角公式, 有 3 種形式, 其中, 后 2 種繞過了正負(fù)號(hào)的判斷.

10. 和差化積公式

根據(jù)正弦的和(差)角公式,

兩式相加, 得

令 θ = α + β,? φ = α - β, 則

所以

將上式的 φ 變號(hào), 得

以上是正弦的和差化積公式, 對(duì)于余弦, 推導(dǎo)方法類似.

11. 和角公式的應(yīng)用

在和角公式里, 代入特殊角度, 可以推導(dǎo)出很多恒等式.

例如,

所以有

同理, 可證

再如

所以

同理有

于是,

上式表明, 相差 90° 的兩個(gè)角, 它們的正切相乘等于 -1. 對(duì)應(yīng)到直角坐標(biāo)系里, 如果兩條直線垂直, 且都存在斜率, 那么, 它們的斜率的乘積為 -1.

這些都是正向應(yīng)用和角公式的例子; 當(dāng)然, 這個(gè)公式也可以逆用.

設(shè) ,

令

則

這說明, 點(diǎn) (c, s) 在單位圓上,

因此,? ? 滿足

? 且? ?

于是

右側(cè)括號(hào)里, 是和角公式的展開, 所以

其中,?

φ 需要同時(shí)滿足以下 2 個(gè)條件:

這叫 "輔助角公式", 用于求這類函數(shù)的值域.

下期預(yù)告:

三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 特殊角的三角函數(shù).