第4章 方程經(jīng)典匯趣

解方程（不等式）是數(shù)學(xué)的基本課題之一，許多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的求解往往歸結(jié)為解某一方程（不等式）或方程組來(lái)完成。

4.1 韓信點(diǎn)兵

韓信點(diǎn)兵的故事，讓士兵排隊(duì)報(bào)數(shù)，按從1-5報(bào)數(shù)，記下最末一個(gè)士兵報(bào)的數(shù)為1；再按從1-6報(bào)數(shù)，記下最末一個(gè)士兵報(bào)的數(shù)為5；按從1-7報(bào)數(shù)，記下最末一個(gè)士兵報(bào)的數(shù)為4；最后，按從1-11報(bào)數(shù)，記下最末一個(gè)士兵報(bào)的數(shù)為10，問(wèn)韓信的排隊(duì)中有多少士兵。

韓信點(diǎn)兵的版本有很多。它形成了一類問(wèn)題，也就是初等數(shù)論中的解同余式。

【編程題】

n遍報(bào)數(shù)，第i遍從1-p(i)報(bào)數(shù)時(shí)，最末一個(gè)士兵報(bào)數(shù)為r(i)，這里i=1，2，...，n

從鍵盤輸入n及各個(gè)p(i)與r(i)，計(jì)算并輸出滿足這報(bào)n遍數(shù)的3個(gè)最少人數(shù)。

4.2 古代趣算

4.2.1 百雞問(wèn)題

百雞問(wèn)題是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，出自中國(guó)古代約5—6世紀(jì)成書的《張丘建算經(jīng)》，是原書卷下第38題，也是全書的最后一題，該問(wèn)題導(dǎo)致三元不定方程組，其重要之處在于開創(chuàng)“一問(wèn)多答”的先例。

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百雞問(wèn)題：今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問(wèn)雞翁、雞母、雞雛各幾何？

這個(gè)問(wèn)題可列如下方程

x+y+z =100

5x+3y+(1/3)z =100

以上有兩個(gè)方程，三個(gè)未知量，稱為不定方程組，有多種解。

采用加減消元法，消去一個(gè)變量，可得另外兩個(gè)變量的關(guān)系式，再探測(cè)判定解。

【編程題】

用100個(gè)錢買100只雞，其中公雞5個(gè)錢1只，母雞3個(gè)錢1只，而小雞1個(gè)錢買d只，整數(shù)d從鍵盤輸入，問(wèn)公雞母雞與小雞各買了多少只？

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4.2.2 羊犬雞兔問(wèn)題

今有五羊四犬三雞二兔值錢一千四百九十六,四羊二犬六雞三兔值錢一千一百七十五,三羊一犬七雞五兔值錢九百五十八,二羊三犬五雞一兔值錢八百六十一。求每只羊、犬、雞、兔各值多少錢？

這是多元線性方程組。可以用加減消元法。

【編程題】

用枚舉法（窮舉法）求羊犬雞兔問(wèn)題

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4.3 國(guó)外趣算

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4.3.1 牛頓“牛吃草問(wèn)題”

牛頓在他的《普通算術(shù)》一書中，有一道關(guān)于牛在牧場(chǎng)上吃草的問(wèn)題，即牛在牧場(chǎng)上吃草，牧場(chǎng)上的草在不斷地、均勻地生長(zhǎng)。后人把這類問(wèn)題稱為牛吃草問(wèn)題或叫做“牛頓問(wèn)題”。

牧場(chǎng)上有一片青草，每天都生長(zhǎng)得一樣快。這片青草供給27頭牛吃，可以吃6天；或者供給23頭牛吃，可以吃9天，其間草一直在生長(zhǎng)。如果這些草供給21頭牛吃，可以吃多少天？

這是一個(gè)多元方程組求解問(wèn)題。

【編程題】

把牛頓“牛吃草問(wèn)題”中的5個(gè)整數(shù)由系統(tǒng)隨機(jī)產(chǎn)生，由游戲者提供答案，主持給出評(píng)判，如果參賽者答案錯(cuò)誤，則給出正確解答。

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4.3.2 100！結(jié)尾多少個(gè)0

這是一個(gè)階乘計(jì)算問(wèn)題。

試確定100！的結(jié)尾有幾個(gè)0.

這個(gè)問(wèn)題可轉(zhuǎn)換為統(tǒng)計(jì)5因數(shù)的個(gè)數(shù)。具體推導(dǎo)可以看書或百度

【編程題】

對(duì)于指定的正整數(shù)n，試確定階乘n！的結(jié)尾0的個(gè)數(shù)。

對(duì)于指定的正整數(shù)m，試確定k！的結(jié)尾至少有m個(gè)0的整數(shù)k的最小值。

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4.4 加減得1游戲

主持人給出兩個(gè)整數(shù)，至少加減運(yùn)算多少次能得到1？

如16，9

16+16+16+16-9-9-9-9-9-9-9=1

9+9+9+9+9+9+9+9+9-16-16-16-16-16=1

這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)為不定方程 16X -9Y = ±1

【編程題】

輸入不同的兩個(gè)正整數(shù)a，b（1<b<a），輸出得到1的最少運(yùn)算次數(shù)及運(yùn)算式。如果無(wú)法得到，則予以說(shuō)明。

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4.5 多元不定方程組

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4.5.1 雙和不定方程組

問(wèn)題：給定下面的方程組

?X + Y + Z = 90

?1/X + 1/Y + 1/Z = 1/6

試求整數(shù)X，Y，Z。（約定X<Y<Z）

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【編程題】

已知n是一個(gè)正整數(shù)(n≤100)，求解基于n的不定方程組

?a + b + c = d + e + f = n

?1/a + 1/b + 1/c = 1/d + 1/e + 1/f

從鍵盤輸入正整數(shù)n，求出方程組的所有正整數(shù)解（約定a<b<c，d<e<f，a<d）

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4.5.2 和積不定方程組

問(wèn)題：給定下面的方程組

?X + Y + Z = 100

?XYZ = 28080

試求整數(shù)X，Y，Z。（約定X<Y<Z）

【編程題】

已知n是一個(gè)正整數(shù)(n≤150)，求解基于n的不定方程組

?a + b + c = d + e + f = g + h + i = n

?abc = def = ghi

從鍵盤輸入正整數(shù)n，求出方程組的所有正整數(shù)解（約定a<b<c，d<e<f，g<h<i，a<d）

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4.6 解不等式

某些涉及整數(shù)的不等式求解用通常推理的方法是無(wú)法完成的，這就為應(yīng)用程序涉及解這些不等式提供了空間。

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4.6.1 調(diào)和數(shù)列不等式

【編程題】

對(duì)指定的正數(shù)x, y（2<x<y），試求滿足調(diào)和數(shù)列不等式的正整數(shù)n。

x < 1+ 1/2 + 1/3 + ┉?+ 1/n < y

輸入正整數(shù)x,y，輸出正整數(shù)n的取值范圍。

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4.6.2 代數(shù)和不等式

【編程題】

試解下列關(guān)于正整數(shù)n的代數(shù)和不等式

1 + 1/sqrt(2) - 1/sqrt(3) + 1/sqrt(4) + 1/sqrt(5) - 1/sqrt(6) + ┉ ± 1/sqrt(n) > d

（表達(dá)式中符號(hào)為兩個(gè)加號(hào)后一個(gè)減號(hào)）

從鍵盤輸入正數(shù)d(d>1)，輸出正整數(shù)n的值。

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4.7 和與積的整數(shù)部分

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4.7.1 平方根的兩個(gè)和

【編程題】

試求區(qū)間[c, d]上整數(shù)的平方根和S1和平方根倒數(shù)和S2的整數(shù)部分

S1 = sqrt(c) + sqrt(c+1) + sqrt(c+2) + ┉?+ sqrt(d)

S2 = 1/sqrt(c) + 1/sqrt(c+1) + 1/sqrt(c+2) + ┉?+ 1/sqrt(d)

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4.7.2 分?jǐn)?shù)連乘積

【編程題】

給定區(qū)間[c, d]，探求分?jǐn)?shù)連乘積的整數(shù)部分

T = ( (2c)(2c+2)┉(2d) ) / ( (2c-1)(2c+1)┉(2d-1) )

（式中，分子全為偶數(shù)，分母全為奇數(shù)，各個(gè)分子比相應(yīng)分母多1）

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4.8 猴子分桃與水手分椰子

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4.8.1 猴子分桃

猴子分桃：海灘上有一堆桃子，五只猴子來(lái)分。第一只猴子把這堆桃子平均分為五份，多了一個(gè)，這只猴子把多的一個(gè)扔入海中，拿走了一份。第二只猴子把剩下的桃子又平均分成五份，又多了一個(gè)，它同樣把多的一個(gè)扔入海中，拿走了一份。第三、第四、第五只猴子都是這樣做的，問(wèn)海灘上原來(lái)最少有多少個(gè)桃子？

求解可以百度

【編程題】

海灘上有一堆桃子，n只猴子來(lái)分。第一只猴子把這堆桃子平均分為n份，多了一個(gè)，這只猴子把多的一個(gè)扔入海中，拿走了一份。第二只猴子到第n只猴子都遇到同樣的情況，并同樣處理，都是扔掉一個(gè)桃子后，恰好可以分成n等份。

輸入猴子數(shù)n（1<n<9），輸出這堆桃子至少有多少個(gè)，并逐次輸出分桃數(shù)量。

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4.8.2 水手分椰子

五個(gè)水手來(lái)到一個(gè)島上，采了一堆椰子后，因?yàn)槠诙妓?。一段時(shí)間后，第一個(gè)水手醒來(lái)，悄悄地將椰子等分成五份，多出一個(gè)椰子，便給了旁邊的猴子，然后自己藏起一份，再將剩下的椰子重新合在一起，繼續(xù)睡覺。不久，第二名水手醒來(lái)，同樣將椰子了等分成五份，恰好也多出一個(gè)，也給了猴子。然而自己也藏起一份，再將剩下的椰子重新合在一起。以后每個(gè)水手都如此分了一次并都藏起一份，也恰好都把多出的一個(gè)給了猴子。第二天，五個(gè)水手醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)椰子少了許多，心照不喧，便把剩下的椰子分成五份，恰好又多出一個(gè)，給了猴子。請(qǐng)問(wèn)水手最初最少摘了多少個(gè)椰子？

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4.9 解佩爾方程

佩爾方程，是一種不定二次方程。

x^2 - n y^2 = 1 (其中，n為非平方正整數(shù))

通常把佩爾方程中x,y中有一個(gè)為零的解稱為平凡解，非零解稱為非平凡解，最小正整數(shù)非平凡解稱為基本解，求出基本解，其他解可由基本解推出。

【編程題】

探求佩爾方程的基本解

4.9.1 枚舉試探求解

用枚舉法逐個(gè)探測(cè)。這個(gè)只能處理n較小的情況

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4.9.2 應(yīng)用連分?jǐn)?shù)高精求解

拉格朗日給出了解決方案 ，應(yīng)用連分?jǐn)?shù)求解佩爾方程。

具體可以百度

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【讀者體會(huì)】

這一章介紹了一些經(jīng)典的方程。

如果需要編程求解方程。

編程設(shè)計(jì)要點(diǎn)。枚舉法。

1）推理。分析方程或方程組，推理得到參數(shù)之間的關(guān)系或取值范圍（遞進(jìn)規(guī)律）

2）枚舉。設(shè)置處理循環(huán)

3）判定方程是否成立。

4）輸出。