【種花家務(wù)·代數(shù)】1-5-03分式中分子和分母的符號變換『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

2023-09-28 16:07 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第五章分式

§5-3分式中分子和分母的符號變換

【01】根據(jù)有理數(shù)的除法法則，我們有 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B%2B3%7D%7B%2B5%7D%3D%2B%5Cfrac35%3B%5Cquad%5Cfrac%7B-3%7D%7B-5%7D%3D%2B%5Cfrac35%3B%5Cquad%5Cfrac%7B-3%7D%7B%2B5%7D%3D-%5Cfrac35%3B%5Cquad%5Cfrac%7B%2B3%7D%7B-5%7D%3D-%5Cfrac35$ ? 。

【02】從這里可以看出，一個分?jǐn)?shù)的分子分母都有性質(zhì)符號，分?jǐn)?shù)本身也有性質(zhì)符號。

【03】我們還可以看出 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B-3%7D%7B-5%7D%3D%5Cfrac%7B%2B3%7D%7B%2B5%7D%2C%5Cquad%5Cfrac%7B%2B3%7D%7B-5%7D%3D%5Cfrac%7B-3%7D5$ ? 。

【04】那就是說，分子分母都改變性質(zhì)符號，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的值是不變的。

【05】我們還可以看出 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B-3%7D%7B%2B5%7D%3D-%5Cfrac%7B%2B3%7D%7B%2B5%7D%2C%5Cquad%5Cfrac%7B%2B3%7D%7B-5%7D%3D-%5Cfrac%7B%2B3%7D%7B%2B5%7D$ ? 。

【06】那就是說，分子分母中一個改變性質(zhì)符號，另一個不改變性質(zhì)符號，那末必須改變分?jǐn)?shù)本身的性質(zhì)符號，才能與原來的分?jǐn)?shù)相等。

【07】因?yàn)榉质降姆肿臃帜副硎镜氖菙?shù)，所以這些性質(zhì)也適用于分式。于是有分式的分子分母變換符號的法則： $%5Csmall%5Cfrac%7B-a%7D%7B-b%7D%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3B%5Cquad%5Cfrac%7B-a%7Db%3D%5Cfrac%20d%7B-b%7D%3D-%5Cfrac%20ab$ ? 。

例1.把分母里的負(fù)號去掉，但要保持分式的值不變： $%5Cscriptsize(1)%5Cfrac%7B5%7D%7B-3x%7D%3B(2)%5Cfrac%7B-x%7D%7B-a%5E2bc%7D%3B(3)-%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B-a%5E2%7D%3B(4)-%5Cfrac%7B-bc%7D%7B-a%7D$ ? 。

【解】

(1)把分母的負(fù)號改為正號，要同時把分子也改變符號或者在分式前面添上負(fù)號，得 $%5Csmall%5Cfrac5%7B-3x%7D%3D%5Cfrac%7B-5%7D%7B3x%7D%5Cquad%5Ctext%7B%E6%88%96%7D%5Cquad%5Cfrac5%7B-3x%7D%3D-%5Cfrac5%7B3x%7D$ ；

(2)分子分母同時去掉負(fù)號，得 $%5Csmall%5Cfrac%7B-x%7D%7B-a%5E2bc%7D%3D%5Cfrac%20x%7Ba%5E2bc%7D$ ；

(3)把分母與分式前面的負(fù)號同時去掉，得 $%5Csmall-%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B-a%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7Ba%5E2%7D$ ；

(4)去掉分母的符號之后，要把分子或分式前面的負(fù)號中再去掉一個，得 $%5Csmall-%5Cfrac%7B-bc%7D%7B-a%7D%3D-%5Cfrac%7Bbc%7Da%5Cquad%5Ctext%7B%E6%88%96%7D%5Cquad-%5Cfrac%7B-bc%7D%7B-a%7D%3D%5Cfrac%7B-bc%7Da$ ? 。

例2.整理下列分式，依照 x 的降冪排列分子分母的各項(xiàng)，并使分子分母的第一項(xiàng)前面都是正號： $%5Cscriptsize(1)%5Cfrac%7B5%2Bx%7D%7B3-x%7D%3B(2)%5Cfrac%7B5-x%7D%7Bx-x%5E2%2B3%7D%3B(3)-%5Cfrac%7B5%2Bx-x%5E2%7D%7B3%2Bx%7D%3B(4)-%5Cfrac%7B-2%2Bx%2B2x%5E2%7D%7B-1-x-x%5E2%7D$ ? 。

【解】

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%5Cfrac%7B5%2Bx%7D%7B3-x%7D%3D%5Cfrac%7Bx%2B5%7D%7B-x%2B3%7D%3D-%5Cfrac%7Bx%2B5%7D%7B%5Cleft(-x%2B3%5Cright)%5Cleft(-1%5Cright)%7D%3D-%5Cfrac%7Bx%2B5%7D%7Bx-3%7D%3B%20%5C%5C%0A%26(2)%5Cfrac%7B5-x%7D%7Bx-x%5E2%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B-x%2B5%7D%7B-x%5E2%2Bx%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(-x%2B5%5Cright)%5Cleft(-1%5Cright)%7D%7B%5Cleft(-x%5E2%2Bx%2B3%5Cright)%5Cleft(-1%5Cright)%7D%20%3D%5Cfrac%7Bx-5%7D%7Bx%5E2-x-3%7D%3B%5C%5C%0A%26(3)-%5Cfrac%7B5%2Bx-x%5E2%7D%7B3%2Bx%7D%3D-%5Cfrac%7B-x%5E2%2Bx%2B5%7D%7Bx%2B3%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5E2-x-5%7D%7Bx%2B3%7D%3B%5C%5C%0A%26(4)-%5Cfrac%7B-2%2Bx%2B2x%5E2%7D%7B-1-x-x%5E2%7D%3D-%5Cfrac%7B2x%5E2%2Bx-2%7D%7B-x%5E2-x-1%7D%3D%5Cfrac%7B2x%5E2%2Bx-2%7D%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

習(xí)題5-3

把分母里的負(fù)號去掉，但要所得的分式與原式相等：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81%5Cfrac%7B-5b%7D%7B-3a%7D.%5C%5C%262%E3%80%81%5Cfrac%7Bx%7D%7B-5a%7D.%5C%5C%0A%263%E3%80%81-%5Cfrac%7B7xy%5E2%7D%7B-12a%5E3b%5E2%7D.%5C%5C%264%E3%80%81-%5Cfrac%7B-5y%7D%7B-7x%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

整理下列分式，使分子分母都按照 x 的降冪排列，并使分子分母的第一項(xiàng)前面都是正號：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%265%E3%80%81%5Cfrac%7B12-x%7D%7B3-x%7D.%5C%5C%0A%266%E3%80%81-%5Cfrac%7B1-x%2Bx%5E2%7D%7B3%2Bx-x%5E2%7D.%5C%5C%0A%267%E3%80%81%5Cfrac%7B1-x%5E2%2Bx%7D%7B-5%2Bx%7D.%5C%5C%0A%268%E3%80%81%5Cfrac%7B3-x-x%5E2%7D%7B1-2x%2Bx%5E2%7D.%5C%5C%0A%269%E3%80%81%5Cfrac%7B7-x%7D%7B-(5-x-x%5E2)%7D.%5C%5C%0A%2610%E3%80%81-%5Cfrac%7B1%2Bx-2x%5E2%2B3x%5E3%7D%7B1-x%2B2x%5E2-3x%5E3%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%265%E3%80%81%5Cfrac%7Bx-12%7D%7Bx-3%7D%3B%5C%5C%0A%266%E3%80%81%5Cfrac%7Bx%5E2-x%2B1%7D%7Bx%5E2-x-3%7D%3B%5C%5C%0A%267%E3%80%81-%5Cfrac%7Bx%5E2-x-1%7D%7Bx-5%7D%3B%5C%5C%0A%268%E3%80%81-%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bx-3%7D%7Bx%5E2-2x%2B1%7D%3B%5C%5C%0A%269%E3%80%81-%5Cfrac%7Bx-7%7D%7Bx%5E2%2Bx-5%7D%3B%5C%5C%0A%2610%E3%80%81%5Cfrac%7B3x%5E3-2x%5E2%2Bx%2B1%7D%7B3x%5E3-2x%5E2%2Bx-1%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

標(biāo)簽：

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【種花家務(wù)·代數(shù)】1-5-03分式中分子和分母的符號變換『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

習(xí)題5-3