RLC串聯(lián)電路電流響應(yīng)

2021-09-17 21:22 作者:HD-nuke8800 0人讀過 | 我要投稿

前言：

???? ??計(jì)算了兩星期的RLC串聯(lián)電路電流響應(yīng)。算了十多張紙，總算告一段落。因紙保存不便，而且寫得凌亂，故對(duì)此進(jìn)行總結(jié)，同時(shí)方便以后查找，寫此專欄。

正文：

第一章：基礎(chǔ)準(zhǔn)備

? ? ? ?串聯(lián)電路各個(gè)元件電流一樣，即可用電流函數(shù)i(t)代表。已知RLC各自元件約束方程，和基爾霍夫電壓定律KVL拓?fù)浼s束方程：

PS：Us為激勵(lì)電壓信號(hào)。

? ? ? ?即可得RLC串聯(lián)電路微分方程：

? ? ? ?直接求解微分方程非常費(fèi)神，可以參考我之前發(fā)過的專欄，其中對(duì)電容充電一階系統(tǒng)的求解，極其燒腦。更何況為RLC串聯(lián)電路為二階系統(tǒng)。此處使用拉普拉斯變換求解（復(fù)平面分析）：

PS：此處設(shè)初始能量為0，若含有初始能量見文后“零輸入響應(yīng)”。

? ? ???I(s)為電流經(jīng)過拉式變換后的函數(shù)，Us(s)同理。G(s)稱之為【傳遞函數(shù)】，傳遞函數(shù)反映了RLC系統(tǒng)的本征特性，搞懂傳遞函數(shù)即搞懂RLC串聯(lián)系統(tǒng)。

? ? ???為了方便后續(xù)計(jì)算，此處對(duì)傳遞函數(shù)的形式進(jìn)行如下調(diào)整：

? ? ? ?圖中用ωn代表系統(tǒng)固有振蕩頻率，對(duì)諧振有了解的應(yīng)該看得出這和計(jì)算諧振頻率的公式高度相似。ζ是阻尼比，它的值決定者系統(tǒng)是欠阻尼、臨界阻尼還是過阻尼。隨著ζ不同取值，其電路響應(yīng)方程也將發(fā)生改變。后文討論中，若方程適用范圍與ζ值有關(guān)，將予以標(biāo)注。傳遞函數(shù)分母中的p1、p2則為系統(tǒng)的極點(diǎn)，其代表著系統(tǒng)的響應(yīng)。下文將對(duì)p1、p2進(jìn)行求解，只需用到初中知識(shí)即可：

? ? ? ?請(qǐng)記住不同ζ下的p1、p2的值，后面計(jì)算響應(yīng)時(shí)要用到。

? ? ? ?除了求解傳遞函數(shù)，還需要對(duì)一些基本的電壓信號(hào)函數(shù)作拉普拉斯變換，以求得Us(s)：

? ? ???G(s)和Us(s)已知，便可求解I(s)了，下一章求解零狀態(tài)響應(yīng)。

第二章：零狀態(tài)響應(yīng)

一、沖激響應(yīng)

? ? ? ?通過沖激響應(yīng)，可以快速檢查系統(tǒng)是否穩(wěn)定（是否會(huì)自激）。對(duì)于有源系統(tǒng)特別重要，只是說RLC串聯(lián)電路是無源系統(tǒng)，是不可能自激的。值得注意的是，沖激信號(hào)δ(t)的拉氏變換就是1，即沖激響應(yīng)就是傳遞函數(shù)G(s)本身。

? ? ? ??在欠阻尼式子中出現(xiàn)ωd，這是阻尼振蕩頻率，比固有振蕩頻率低。阻尼比ζ越接近1，阻尼振蕩頻率越低，阻尼比為1時(shí)頻率就變成0了，即不振蕩了。

二、階躍響應(yīng)

? ? ? ?階躍信號(hào)相當(dāng)于突然給電路接入直流電，可以觀察系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)切換到另一個(gè)狀態(tài)時(shí)的響應(yīng)情況。

三、正弦響應(yīng)

? ? ? ?正弦響應(yīng)是RLC串聯(lián)電路的重頭戲，在正弦激勵(lì)下，如果頻率和諧振頻率接近，則會(huì)發(fā)生串聯(lián)諧振。由于計(jì)算量巨大，精力以及研究重點(diǎn)原因，此處僅分析欠阻尼系統(tǒng)的正弦響應(yīng)。過阻尼和臨界阻尼暫不研究。

? ? ? ?為了進(jìn)一步簡化表達(dá)式，對(duì)式子進(jìn)行稍作修改：

? ? ? ?可見電流最終振幅和中括號(hào)外的因子“Ω/LωnΓ”有關(guān)。按照高中的知識(shí)，對(duì)因子進(jìn)行求導(dǎo)，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)即為極值點(diǎn)（不一定），令導(dǎo)數(shù)為零并求出對(duì)應(yīng)的Ω值與以及因子的極值：

? ? ? ?可見當(dāng)外界激勵(lì)頻率為ωn時(shí)（因?yàn)棣?ω/ωn），電流將達(dá)到最大值，峰值和品質(zhì)因數(shù)Q有關(guān)（更直觀地說和電阻呈反比），品質(zhì)因數(shù)越高電流越大。諧振頻率等于固有頻率ωn，與阻尼比無關(guān)。這里提一句，對(duì)比本計(jì)算結(jié)果和一些別的模型如機(jī)械彈簧振子計(jì)算結(jié)果會(huì)略有不同。彈簧振子的共振頻率（諧振頻率）并不等于固有頻率，而是略低于固有頻率，與阻尼比有關(guān)。這里并無算錯(cuò)，而是計(jì)算對(duì)象不同。機(jī)械彈簧振子默認(rèn)算的是彈簧振子位移，對(duì)應(yīng)與RLC系統(tǒng)的電容電壓。此處計(jì)算的是RLC系統(tǒng)的電流，應(yīng)對(duì)應(yīng)彈簧振子的速度。

? ? ???一些補(bǔ)充：

第三章：零輸入響應(yīng)

? ? ? ?零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)初始能量為0時(shí)，外界對(duì)其進(jìn)行激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)。而零輸入響應(yīng)則是外界激勵(lì)保持0，僅由系統(tǒng)自身初始能量產(chǎn)生的響應(yīng)。由于初始能量總會(huì)耗完，所以在時(shí)間t→∞時(shí)，零輸入響應(yīng)必歸零，系統(tǒng)僅存在零狀態(tài)響應(yīng)，在研究系統(tǒng)穩(wěn)定后的情況可以忽略零輸入響應(yīng)而只求解零狀態(tài)響應(yīng)。然而要研究t在0之后的暫穩(wěn)狀態(tài)時(shí)，必須求解零輸入響應(yīng)。

? ? ???此時(shí)需要倒退回第一章，微分方程處開始。在進(jìn)行拉普拉斯變換時(shí)說了個(gè)前提條件：設(shè)初始能量為0?，F(xiàn)在設(shè)初始能量不為0，反而外界激勵(lì)電壓Us設(shè)為0，重新進(jìn)行拉普拉斯變換：

? ? ???這個(gè)傳遞函數(shù)是不是特別眼熟？這就是沖激響應(yīng)電流和階躍響應(yīng)電流的疊加！在零狀態(tài)響應(yīng)計(jì)算中，用的是單位沖激/階躍信號(hào)，強(qiáng)度為1。在這里，1變成了一個(gè)另一個(gè)常數(shù)。也就是說，零輸入響應(yīng)就是零狀態(tài)單位沖激/階躍響應(yīng)乘了一個(gè)系數(shù)。

? ? ???i(0-)就是時(shí)間為0時(shí)刻的電流，即初始電流，也可以叫初始電感電流，用i0簡寫。i'(0-)是時(shí)間為0時(shí)刻的電流導(dǎo)數(shù)，其實(shí)和初始電容電壓相關(guān)，但是差了點(diǎn)系數(shù)需要計(jì)算。

? ? ? ?回歸到第一章由約束方程得出微分方程的時(shí)候，此時(shí)引入初始電容電壓u0和初始電感電流i0，外部激勵(lì)電壓為0：

? ? ???有時(shí)候別算著算著算傻了，回歸到最原始的定義更容易得出正確的結(jié)果。導(dǎo)數(shù)是負(fù)數(shù)說明電流方向?qū)⒁怪叩?。?duì)著原理圖定性分析也明白了，電容初始電壓是正方向的話，電流肯定往負(fù)方向走的。現(xiàn)在把電流拉氏函數(shù)補(bǔ)全：