在我高中最后的時光里，數(shù)學(xué)老師教到排列組合，很遺憾，我沒有學(xué)習(xí)完這部分知識，導(dǎo)致我一直不清楚這兩個運(yùn)算符是什么意思，直到今天，突然明白它們的意義與計算方法。

首先引入計算符A(n,m)來表示某種排列組合問題的解：

有5個數(shù)字1、2、3、4、5，任意選3個不重復(fù)的數(shù)字組成一個序列，這樣的序列有多少？

這個問題很簡單，第一位數(shù)字有5種選擇，由于不能選重復(fù)的數(shù)字，第二位數(shù)字只有4種選擇，第3位只有3種選擇了，所以總共有5x4x3=60個序列。

A(3,5)可以表示這個問題的解

A(3,5)可以用階乘來表示

接下來引入C來表示另一種排列組合問題的解：

這問題和第一個問題類似，同樣是5選3，不同的是我們將所含數(shù)字相同的看成是一樣的，比如123、231這兩個選取我們會視為相同的選取。

這個問題的解用C(3,5)來表示

C(3,5)是多少？我們從A(3,5)對應(yīng)的60個中剔除掉重復(fù)的就行，哪一些是重復(fù)的？

像123、213、321.....這些在此問題中都視為重復(fù)的，它們所含的數(shù)字是一樣的但是排列不同

三個數(shù)字總共能有多少排列？答案是A(3,3)=3x2x1=6，

所以C(3,5)=A(3,5)/A(3,3)=10

這兒還有一些簡單的性質(zhì)

C(n,m)=C(m-n,m)

A(m,m)=A(m-1,m)

狹義的二項式定理
狹義的二項式定理是指 求（a+b）^n展開后的項系數(shù)的公式，其中n為正整數(shù)，來討論一下二項式定理的推導(dǎo)過程，

在實數(shù)乘法的運(yùn)算律下，這是一個排列組合問題，這個問題本質(zhì)上和“拋n次硬幣，求某種特定結(jié)果在所有結(jié)果中的占比？”是一樣的，兩個問題用的公式是一樣的，后者求出來那叫二項分布，這可能是它叫二項式定理的原因之一。

接下來給出兩種推導(dǎo)過程，在此之前，我們可以先將問題具體化：求(a+b)^5展開后a^2*b的系數(shù)。

第一種（用C）：

2個a位置已經(jīng)蘊(yùn)含了b的位置，所以我們只要看選2個a有多少種選法就行。

5選2無關(guān)排列，所以答案是C(2,5)

第二種（不用C，畫蛇添足版）

上圖的選法我們可以寫成ababb，還可以這樣選：aabbb、abbba......，其他的選法和原來的只有排列不同。aabbb有5個元素，總共有A(5,5)個排列（置換），但是像a與a或b與b之間的置換也被包含在A(5,5)中，所以我們要剔除這種重復(fù)的，2個a有A(2,2)個排列，3個b有A(3,3)種排列，所以答案是A(5,5)/(A(2,2)*A(3,3))=10