這是個時光飛逝的一年，很多往事猶如發(fā)生在昨日，初中時代，早已不復存在，但當年做過的那些典型題居然記憶猶新，美妙的日子，對稱的年份那就談?wù)剬ΨQ的問題吧！

? ? 初高中遇到過很多類似的問題，像已知x等于多少多少，求什么xy+yz+xz或者求x+1/x或者是幾次冪的情況這類對稱式問題

例如山東省中考題：

(1)已知x+y=1，x2+y2=2，求x^7+y^7

或者是那些競賽題：

(2)已知x+1/x=3，求x^6+1/x^6

(3)已知x+1/x=3，求x^10+x^5+1/x^5+1/x^10

(4)已知x=√(5+√5), y=√(5-√5), 求x^6+y^6

還有更奇葩的，沒有根讓你求等式值

如全國初中競賽題：

(5)已知x2+x+1=0，求x^14+1/x^14

? ? 很多出題人就是和倒數(shù)過不去，今天舉幾個例子來告訴大家解這類題的套路吧，望同學們以后活學活用，舉一反三。對稱的式子可以按照正常套路來解，x與倒數(shù)的和，平方之后變成x2與x2倒數(shù)的和再加上一個確定的數(shù)，利用它來解，但這個性質(zhì)只能產(chǎn)生平方，想得到奇次方怎么辦呢？

? ? 可以用平方式乘以和式，當然要結(jié)合立方和公式才有效，如

(x2-1+1/x2)(x+1/x)=x3+1/x3，x2+1/x2可算出，x+1/x已給出，這樣x3+1/x3就能求出，那4次方呢？沒啥公式了，就是把平方式再平方罷了，如果想求更多次數(shù)，要充分利用平方式，立方式或者4次方式。

? ??題(2)中，6次可以用x3+1/x3的平方，結(jié)果是322。題(3)可以先求出x^5+1/x^5，先不管5次怎么求的，相信這類題總能求出x^k與其倒數(shù)和，再平方就可算出x^10+1/x^10，知道結(jié)果再回頭研究怎么算x^5+1/x^5，其實可以用(x2+1/x2)乘以(x3+1/x3)，展開后存在最原始的x+1/x，其他都這策略，將兩個對稱的式子相乘，總存在曾經(jīng)算過的低次式，一頓化簡就能算出所求式子。

? ? 偷偷地告訴你，任意奇數(shù)次和的公式都類似立方和，有興趣的朋友自己可以試試，我就不提公式了，太長太鬧心，這里只看策略……

? ? 題(3)所求等于123+15127=15250，過程自己完成吧！

??? 下面重點來了，題(4)不一樣，要自己拓展啊，可以看出平方關(guān)系很簡單x2+y2=10，x2y2=20，只是將乘積變成20了，我們知道倒數(shù)的乘積是1，變換下形態(tài)就行了！答案是400。題(5)原理是一樣的，只是變了個方程式，因為當x=0時等式不成立，其實這題x等于幾都不對，總之更不是0了，兩邊同時被x除，可以求出來x+1/x=-1，14=8+6，可以用8次式乘以6次式來算，或者用7次和公式（類似立方和），然后平方，看看怎么簡單吧，記得要分步啊，低次式用途廣，事先算出才簡單，會發(fā)現(xiàn)它有周期的，居然答案是-1，愁人不？

??? ?最后，題(1)就留給你自己解決吧，答案是8.875，算對了么？

???? 這類題就按對稱算未免太平常了，UP主搞數(shù)學本著大開腦洞的原則，推薦大家一個機械的做法，不過不同問題化簡成套路模式還需要靈活掌握的。

? ? 小時候很多思考題要找規(guī)律的，像1, 3, 5, 7,…，我說第k個數(shù)為ak，那么可得

ak=ak-1+2，很簡單吧，再舉個例子，1, 3, 9, 27,…，可以說ak=3ak-1，再難些，1, 5, 7, 17, 31, 65,…，規(guī)范地說應(yīng)該是ak=ak-1+2ak-2，與前面兩項有關(guān)系，做數(shù)學題多的同學會發(fā)現(xiàn)，這里ak=(-1)^k+2^k，而-1和2正好是方程x2=x+2的兩個根，與遞推公式一致，可以告訴你，所有的冪次和都能按照某個方程形式的遞推公式來計算，但得保證初始值滿足一定條件才行，不同初始值會產(chǎn)生一些系數(shù)，就得我們自己規(guī)定了，簡單來說就是把ak寫成x1^k+x2^k的形式，最后求ak就OK了，但前提是沒有重根才行，一般題都是沒重根的，如果有重根是啥樣呢？那就變成ak=f(k)x0^k某某形式了，這里高于二次的特征方程也成立哦，重根數(shù)如果是m，那么f(k)的次數(shù)是m-1，高于二次的題比較少，這里只拿二次做例子了，若有重根，例如，2, 0, -8, -32, -96, -256, …，遞推公式是ak=4ak-1-4ak-2，對應(yīng)的特征方程是x2=4x-4，有二重根x=2，而ak=(2-k)2^k。

? ? 明白沒？下面按照這個套路來算那幾題

●?題(5)?將x與1/x看作是兩個根，化簡可知 x+1/x=-1, x與倒數(shù)的積一定是1，那么數(shù)列的特征方程就是x2+x+1=0, x2=-x-1，有 ak=-ak-1-ak-2，想讓ak=x^k+1/x^k, 首先讓a0=2，a1=x+1/x=-1,然后開始遞推算了

x+1/x=-1; x2+1/x2=1-2=-1; x3+1/x3=1-(-1)=2;?

x^4+1/x^4=-2-(-1)=-1; x^5+1/x^5=1-2=-1; x^6-1/x^6=1-(-1)=2;

不算了，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，-1,-1,2循環(huán)，那么x^14+1/x^14=-1

但奇葩題就是不嚴密，哪有偶次和是-1的？

●?題(4)?需要轉(zhuǎn)換一下，復合根式比較復雜，平方關(guān)系還不錯，把兩根當作是x2與y2，易知x2+y2=10, x2y2=20，有特征方程為t2-10t+20=0，那么ak=10ak-1-20ak-2，自定義初始值，a0=2，a1=10，求出a3即可

x2+y2=10; x^4+y^4=100-40=60; x^6+y^6=600-200=400

●?題(3)?很正常了，x與1/x和是3，積是1，兩根依然是x與1/x，特征方程為x2-3x+1=0, x2=3x-1, ak=3ak-1-ak-2, a0=2, a1=3，先算到a5

x+1/x=3; x2+1/x2=9-2=7; x3+1/x3=21-3=18; x^4-1/x^4=54-7=47; x^5+1/x^5=141-18=123;?

可以繼續(xù)再算到a10，不過根據(jù)5次和可以推出來10次的，類似題(4)，將x^5和1/x^5看作是兩個根，方程為t2-123t+1=0，求出第二項即可

x^10+1/x^10=123*123-2=15127，最后結(jié)果為123+15127=15250

●?題(2)?最標準，因為方程和題(3)一樣就不贅述了，再往后算一項即可

x^6+1/x^6=369-47=322，當然也可以仿造題(3)算到平方那，然后將兩根看作x2和1/x2，很多大開腦洞的套路大家自己挖掘吧

題(1)不用說了，自己完成吧！

? ? 會了沒？弄明白就會發(fā)現(xiàn)這類問題還是很可愛的，大聲說520，愿美好與你相伴！