撰文?|?丁玖（南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

11月23日清晨，我收到好友兼筆友、香港城市大學(xué)的陳關(guān)榮教授微信發(fā)來的一條關(guān)于烏克蘭數(shù)學(xué)家沙可夫斯基（Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky，1936年12月7日-2022年11月21日）的信息，信息是沙可夫斯基女兒寫的一份簡(jiǎn)短訃告：“我的父親亞歷山大·沙可夫斯基于2022年11月21日上午10時(shí)40分離世。過去的十天他在基輔費(fèi)法尼亞醫(yī)院接受心臟復(fù)蘇術(shù)。他在六個(gè)月內(nèi)兩次感染新冠病毒?！蓖瑫r(shí)還有一張逝者的照片。我看到后心情難受，馬上回復(fù)：“沉痛哀悼！”

社交媒體上轉(zhuǎn)發(fā)的沙可夫斯基去世的消息

沙可夫斯基是何許人也？在美國(guó)，地方報(bào)紙每天都刊登許多訃告，為何陳教授在第一時(shí)間轉(zhuǎn)發(fā)這則信息通知同仁，表達(dá)哀悼之情？

周期模式

沙可夫斯基生于烏克蘭第一大城市基輔，那時(shí)俄羅斯與烏克蘭是蘇聯(lián)的兩大加盟共和國(guó)。他五歲時(shí)，烏克蘭和俄羅斯的紅軍將士一道浴血奮戰(zhàn)，在“基輔戰(zhàn)役”中與閃電式入侵蘇聯(lián)的德軍進(jìn)行殊死搏斗。然而在他人生的最后階段，他卻在自己的國(guó)土上目睹了俄烏基輔之戰(zhàn)。

沙可夫斯基的一生是數(shù)學(xué)的一生，不到15周歲時(shí)他就拿到了基輔數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽一等獎(jiǎng)。大學(xué)畢業(yè)后，他進(jìn)入烏克蘭科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所讀研究生，開始了對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的畢生研究。從1961年博士畢業(yè)到2017年退休為止，他一直待在數(shù)學(xué)研究所工作，期間曾分別長(zhǎng)期擔(dān)任微分方程研究室和動(dòng)力系統(tǒng)理論研究室的主任。

1964年，《烏克蘭數(shù)學(xué)雜志》(Ukrainian Mathematical Journal)?第16卷中刊登了一篇俄語文章，標(biāo)題的英文翻譯是Coexistence of Cycles of a Continuous Map of the Line into Itself（實(shí)數(shù)軸上到自身的連續(xù)映射循環(huán)之共存性）。在該文中，作者沙可夫斯基破天荒地給所有自然數(shù)重新排了序。

我們從小到大所學(xué)的全部數(shù)學(xué)知識(shí)是從幼兒起掰小手指數(shù)數(shù)開始的：1、2、3、4、5等等，所以我們?cè)缫蚜?xí)慣于全體自然數(shù)按照“自然大小”的次序排成無窮的一列：1, 2, 3, …, 100, … 1000, …, 1010, …，直至無窮。然而，與眾不同的沙可夫斯基別出心裁地將所有的自然數(shù)按如下的方式排序：

3, ?5, ?7, ?9, ?11, ?13, ?15, ?17, ?19, ?… , 即除1以外的所有奇數(shù)2·3, ? 2·5, ?2·7, ?2·9, ?2·11, ?… , 即2乘以上一行的每一個(gè)數(shù)22·3, ?22·5, ?22·7, ?22·9, ?22·11, … , 即2乘以上一行的每一個(gè)數(shù)23·3, ?23·5, ?23·7, ?23·9, ?23·11, … , 即2乘以上一行的每一個(gè)數(shù)……………………………………. ，等等、等等，無窮下去

…, 27, ?26, 25, ?24, ?23, ?22, ?21, ?20。即由大到小排列2 的所有次方

如此排列的自然數(shù)稱為沙可夫斯基自然數(shù)序列。在這個(gè)排序中，3是第一個(gè)自然數(shù)，而1則成了最末一個(gè)。若一個(gè)自然數(shù)m在上述數(shù)列中排在另一個(gè)自然數(shù)n的前面，則我們?cè)谶@里簡(jiǎn)記為m ? n，其中的像S的符號(hào)?代表沙可夫斯基英文姓的首字母，以紀(jì)念他發(fā)明了自然數(shù)的這個(gè)創(chuàng)新排序。

在上述的論文里，沙可夫斯基證明了如下的定理：

如果將實(shí)數(shù)軸映到自身的一個(gè)連續(xù)映射有周期為m的周期點(diǎn)，則對(duì)任何滿足關(guān)系m ? n的自然數(shù)n，該映射也有周期為n的周期點(diǎn)。

這個(gè)在文章發(fā)表后十年內(nèi)沒有多少人注意到的漂亮數(shù)學(xué)結(jié)果，今天被稱為“沙可夫斯基定理”。為了方便一般讀者理解定理的涵義，我們需要先解釋一下映射的周期點(diǎn)及周期的概念。首先，這里的“映射”就是我們從中學(xué)就熟悉的數(shù)學(xué)概念“函數(shù)”。對(duì)于給定的將定義域區(qū)間映到自身的映射f，如果存在定義域中的一點(diǎn)x使得f從x開始迭代n次后才第一次回到初始點(diǎn)x，換句話說，如果對(duì)自然數(shù)k = 1, 2,…，n-1，所有的第k次迭代點(diǎn)fk(x)都不等于x，但第n次迭代點(diǎn)fn(x) 等于 x，則稱x為映射f的一個(gè)周期點(diǎn)，而n則被稱為該周期點(diǎn)的周期。這里，符號(hào)fk表示k個(gè)f復(fù)合而成的復(fù)合映射，即f2(x) = f(f(x))，f3(x) = f(f(f(x))) = f(f2(x))，依次類推。如果n = 1，則周期為1的周期點(diǎn)也就是映射的不動(dòng)點(diǎn)，即f(x) = x。作為沙可夫斯基定理的最簡(jiǎn)單推論，如果事先知道一個(gè)連續(xù)映射存在某個(gè)周期點(diǎn)，那么它一定有不動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)?這個(gè)“單位自然數(shù)”在沙可夫斯基序列中“敬陪末座”。

因而，如果連續(xù)映射有一個(gè)周期為5的周期點(diǎn)，那么沙可夫斯基定理告訴我們，對(duì)任何不等于3的自然數(shù)n，它也有周期為n的周期點(diǎn)。有思考習(xí)慣的讀者或許在想，這個(gè)連續(xù)映射會(huì)不會(huì)也一定有周期為3的周期點(diǎn)呢？答案是否定的，下面就是一個(gè)簡(jiǎn)單的反例。它是一個(gè)連續(xù)的逐片線性映射f，定義域和值域都是閉區(qū)間[1，5]，其在子區(qū)間[1，2]、[2，3]、[3，4]及[4，5]上都是線性映射，它們由f在這些子區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的值f(1) = 3，f(2) = 5，f(3) = 4，f(4) = 2，f(5) = 1唯一確定。喜歡函數(shù)作圖的讀者可以在xy-坐標(biāo)平面上畫出這個(gè)非線性映射的圖像，然后就會(huì)發(fā)現(xiàn)這條連續(xù)折線與坐標(biāo)系第一象限的對(duì)角線y = x恰好相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)兩個(gè)數(shù)值相同的x和y坐標(biāo)位于3和4之間，這個(gè)數(shù)就是f的唯一不動(dòng)點(diǎn)，記為p。我們?nèi)绻麖某跏键c(diǎn)1開始迭代，依次就有迭代點(diǎn) f(1) = 3，f(3) = 4，f(4) = 2，f(2) = 5，f(5) = 1，即所構(gòu)造的映射確實(shí)有周期為5的周期點(diǎn)。于是，上面的沙可夫斯基定理保證了對(duì)任意不為3的自然數(shù)n，周期為n的周期點(diǎn)的存在性。

下面我們來解釋為何f不可能有周期為3的周期點(diǎn)。為節(jié)省漢字，對(duì)于m < n，用f(m，n)表示開區(qū)間(m，n)在f下的像，即f(m，n) = {f(x)：m < x < n} 。首先指出，映射f的周期為3的周期點(diǎn)是映射f3的不動(dòng)點(diǎn)，而f的不動(dòng)點(diǎn)也是f3的不動(dòng)點(diǎn)。如果您畫了f的圖像，就會(huì)容易發(fā)現(xiàn)

f(1，2) = (3，5)， f(3，5) = (1，4)， f(1，4) = (2，5)。

這樣，f3(1，2) = (2，5)。類似可知f3(2，3) = (3，5)，f3(3，4) = (1，5)，f3(4，5) = (1，4)。由上面可見，f3在開區(qū)間(1，2)，(2，3)，(4，5)內(nèi)沒有不動(dòng)點(diǎn)，因此f在這三個(gè)區(qū)間內(nèi)都沒有周期為3的周期點(diǎn)。上一段中通過幾何作圖可以看到f在開區(qū)間(3，4)內(nèi)有唯一的不動(dòng)點(diǎn)p。此斷言的嚴(yán)格分析證明來自事實(shí)：區(qū)間(3，4)包含在區(qū)間f(3，4)之中，然后運(yùn)用關(guān)于連續(xù)函數(shù)的介值定理可得之。再通過圖像，我們就看到：f在(3，4)上遞減，其像為 (2，4)；f在(2，4)上遞減，像為 (2，5)；f在(2，5)上遞減，像為(1，5)。因?yàn)閮蓚€(gè)遞減映射的復(fù)合映射是遞增映射，遞增映射與遞減映射的復(fù)合映射是遞減映射，我們得到結(jié)論：f3在(3，4)上遞減。這樣f3的圖像在(3，4)上方只能穿過對(duì)角線y = x一次，而交點(diǎn)就是f的圖像與對(duì)角線的那個(gè)交點(diǎn)(p，p)。所以，映射f在(3，4)內(nèi)也沒有周期為3的周期點(diǎn)。

上面給出的“反例”及其初等證明，除了用到大學(xué)微積分中的介值定理那一句外，學(xué)過中學(xué)代數(shù)的讀者都應(yīng)該能夠看懂。更進(jìn)一步可以證明，任給一個(gè)自然數(shù)n，存在一個(gè)連續(xù)映射，它有周期為n的周期點(diǎn)，但對(duì)滿足沙可夫斯基序關(guān)系m ? n的所有自然數(shù)m，該映射沒有周期為m的周期點(diǎn)。

約克“發(fā)現(xiàn)”沙可夫斯基

沙可夫斯基定理這個(gè)關(guān)于連續(xù)映射周期點(diǎn)之周期范式好得不能再改善的精致結(jié)果，像許許多多淹沒在茫茫數(shù)學(xué)期刊內(nèi)的其他數(shù)學(xué)命題一樣，默默無聞了一些年，原因是沒人看出它的價(jià)值。不過，它比那些默默無聞了一輩子的數(shù)學(xué)定理幸運(yùn)多了，因?yàn)樵谒鼏柺朗荒旰?，由于李天巖?(1945-2020)?與他的博士論文指導(dǎo)老師約克?(James A. Yorke，1941-)?發(fā)表了一篇?dú)v史上第一次明確給出數(shù)學(xué)名詞“混沌(Chaos)?”的文章《周期三則意味著混沌》(Period Three Implies Chaos)，沙可夫斯基的論文從沾滿灰塵的故紙堆里雄赳赳地站立了起來，出現(xiàn)在與混沌概念密切相關(guān)的“離散動(dòng)力系統(tǒng)”這一欣欣向榮的數(shù)學(xué)分支中而廣受研究人士追捧。

從李天巖和約克上述論文的標(biāo)題似乎可見，他們所證的定理——后來被稱為“李-約克定理”或內(nèi)涵更具體些的“李-約克混沌定理”——的條件是給定連續(xù)映射周期三點(diǎn)的存在性。我們還記得在沙可夫斯基的自然數(shù)序列中，這個(gè)3排在第一位，因此從沙可夫斯基定理直接得知，所給映射有周期為任何自然數(shù)的周期點(diǎn)。這表明沙可夫斯基一看到李-約克文章的標(biāo)題就會(huì)脫口而出：“有任意周期的周期點(diǎn)存在！”

李-約克論文確實(shí)研究了周期點(diǎn)問題，不過那時(shí)這兩位作者卻不知道沙可夫斯基對(duì)此早有結(jié)論在先，十年前就發(fā)表了。在美蘇冷戰(zhàn)時(shí)期的西方，幾乎沒人去翻開蘇聯(lián)大家庭里一個(gè)加盟共和國(guó)境內(nèi)出版的俄語數(shù)學(xué)期刊，大概連雜志的封面照片都從未見到過，更不要說懂得論文所用的語言。李-約克定理假設(shè)條件的一個(gè)特殊情形是：給定將一定義域區(qū)間映到自身的連續(xù)映射有一個(gè)周期為3的周期點(diǎn)。定理有兩個(gè)結(jié)論，第一個(gè)是該映射有周期為任意自然數(shù)的周期點(diǎn)。這個(gè)結(jié)論恰恰是沙可夫斯基定理更一般結(jié)論的一個(gè)特別例子。

如果李-約克定理就只有這一個(gè)結(jié)論，那他們的文章即便能被發(fā)表，也僅僅是浩瀚論文大海里的“滄海一粟”罷了。然而，李-約克定理的第二個(gè)結(jié)論是劃時(shí)代的，它與沙可夫斯基定理的交集為空，其內(nèi)容是：在映射的定義域內(nèi)存在不可數(shù)個(gè)非周期點(diǎn)，從其中任意兩個(gè)不同的點(diǎn)出發(fā)無窮次迭代該映射而得到的兩個(gè)不同的迭代點(diǎn)序列，當(dāng)?shù)螖?shù)趨于無窮大時(shí)，彼此之間的距離無窮次地“越來越靠近”0，又無窮次地與0“保持一定的距離”，此外，每一條這樣的迭代點(diǎn)軌道都不趨向于一條由周期點(diǎn)組成的周期軌道。用更加形象的語言來說就是，從那個(gè)由不可數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合中任何一點(diǎn)出發(fā)，其迭代點(diǎn)序列的最終走向是“不可預(yù)測(cè)的”，這無窮個(gè)點(diǎn)的最后行為用李天巖教授自己的話說，是“亂七八糟的”。

李天巖和約克獲得他們定理的初衷與沙可夫斯基完全不一樣。蘇聯(lián)時(shí)代的數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育一樣，系統(tǒng)性非常之強(qiáng)。上世紀(jì)五十年代，中國(guó)翻譯了一大批蘇聯(lián)的大學(xué)數(shù)學(xué)系教科書，內(nèi)容全面而深入。就拿我們數(shù)學(xué)系同學(xué)當(dāng)年幾乎人人課后都在讀的蘇聯(lián)名著教學(xué)參考書《微積分學(xué)教程》來說吧，其中譯本共有三大卷八分冊(cè)，從第一冊(cè)的實(shí)數(shù)完備性性質(zhì)的戴德金分割法推導(dǎo)，到傅里葉級(jí)數(shù)的詳細(xì)論述，嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，洋洋大觀，讀后有效提高了我們的數(shù)學(xué)分析能力，武裝了我們一輩子受益無窮的推理大腦。與其數(shù)學(xué)教育的哲學(xué)理念相一致的是，蘇聯(lián)時(shí)代的數(shù)學(xué)研究范圍是全方位的，以至于有時(shí)會(huì)落入“脫離應(yīng)用”的境地。沙可夫斯基那時(shí)所研究的函數(shù)迭代周期點(diǎn)問題是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問題，他通過繁瑣證明獲得的定理結(jié)論相當(dāng)美妙，但并沒有任何應(yīng)用的背景促使他更進(jìn)一步探索這個(gè)棘手的難題，因此他與混沌概念的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)失之交臂。

約克教授就不一樣了。他是法國(guó)大數(shù)學(xué)科學(xué)家龐加萊 (Henri Poincare，1854-1912)?數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的追隨者，“用數(shù)學(xué)語言對(duì)自然界精辟刻畫”這條信念一直貯存在他的大腦里。1972年底到1973年初的那段時(shí)間，他仔細(xì)閱讀了他所任教的馬里蘭大學(xué)一個(gè)流體力學(xué)家同事遞給他的幾篇“混沌之父”洛倫茨?(Edward Lorenz，1917-2008)?在六十年代初發(fā)表的氣象學(xué)論文，其中在最重要的那一篇《確定性非周期流》(Deterministic Nonperiodic Flow)中 洛倫茨發(fā)現(xiàn)的關(guān)于氣象預(yù)報(bào)簡(jiǎn)化模型二次常微分方程系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感依賴性啟發(fā)了約克，經(jīng)過深入的思考，他從中提煉出一個(gè)關(guān)于映射迭代的數(shù)學(xué)思想，猜測(cè)出周期三引起的后果，這就是后來以李-約克冠名的那個(gè)定理的內(nèi)容。

李天巖和約克的這篇八頁(yè)長(zhǎng)的文章在歷經(jīng)一系列戲劇性事件后，最終刊登在1975年12月期的《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上。這些有啟發(fā)性的故事被我寫進(jìn)了高等教育出版社2013年出版的拙書《智者的困惑：混沌分形漫談》的第七章《周期三則亂七八糟》中。

其實(shí)，斷言李-約克定理第一個(gè)結(jié)論僅僅是沙可夫斯基定理特例的人，大概只讀了李-約克文章的標(biāo)題而已，而沒有細(xì)讀文章主要定理從頭到尾的陳述。在原始論文中，定理的假設(shè)遠(yuǎn)比“周期三”更廣：存在一個(gè)點(diǎn)a，該點(diǎn)被映射接連迭代兩次后都變大，但第三次迭代的結(jié)果卻小于或等于a，或a在映射接連迭代兩次后都變小，但第三次迭代的結(jié)果卻大于或等于a。如用不等式表示，就是

f3(a) ?≤ ?a ?< ?f(a) ?< ?f2(a) ? ? ?或 ? ? ?f3(a) ?≥ ?a ?> ?f(a) ?> ?f2(a)，

而“周期三點(diǎn)存在”的假定只是適合這些條件的一個(gè)特例而已。

十年前，李天巖教授在給我的信件中這樣說道：“我們定理的更一般假設(shè)和沙可夫斯基的序列有一個(gè)很大的不同，可是這在應(yīng)用上卻有極大的差距。好比說在種群動(dòng)力學(xué)上，種群的第一代和第二代都是在增長(zhǎng)，但是在第三代卻突然大降，于是乎什么‘鬼現(xiàn)象’都可能發(fā)生，但是第三代的種群數(shù)要降到和第一代一模一樣（意指周期三點(diǎn)存在）恐怕不大可能。從這個(gè)角度來看，沙可夫斯基序列也許比較適合放在象牙塔里?！?/p>

好一個(gè)“象牙塔”的形象描繪！這道出了蘇聯(lián)數(shù)學(xué)觀與美國(guó)數(shù)學(xué)觀的一個(gè)不同：在蘇聯(lián)，“為了數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)”的現(xiàn)象比比皆是，而在美國(guó)，“帶著問題研究數(shù)學(xué)”卻蔚然成風(fēng)。在蘇聯(lián)，不少數(shù)學(xué)定理在美國(guó)人之前問世，卻只被供養(yǎng)在象牙塔里孤芳自賞，而在美國(guó)，眼前就可用得上的數(shù)學(xué)定理生逢其時(shí)。沙可夫斯基為離散動(dòng)力系統(tǒng)的大廈建造添磚加瓦而發(fā)現(xiàn)了一個(gè)極其美觀的周期模式，載入這個(gè)數(shù)學(xué)分支的史冊(cè)，而約克和他的弟子李天巖則為了解釋洛倫茨發(fā)現(xiàn)的長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)之不可行，挖掘出“數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中一顆不朽的珍品”（語出戴森(Freeman Dyson，1923-2020)美文《鳥與蛙》）。

《周期三則意味著混沌》這篇文章第一次在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地引入了混沌的定義，因而首創(chuàng)了混沌這一數(shù)學(xué)名詞。由于普林斯頓大學(xué)著名的動(dòng)物學(xué)教授羅伯特·梅?(Robert May，1936-2020)?在文章發(fā)表前一年的5月應(yīng)邀在馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系做演講，介紹了他對(duì)生態(tài)學(xué)中邏輯斯蒂模型的數(shù)值模擬，并對(duì)簡(jiǎn)單模型迭代的復(fù)雜行為困惑不解，因此當(dāng)約克教授在送他去機(jī)場(chǎng)的路上給他看了他們的文章，他充當(dāng)了李-約克定理的第一個(gè)受惠人，并且也自愿擔(dān)當(dāng)了宣傳員。他那年夏天去歐洲講演時(shí)到處傳播李-約克定理，讓混沌的概念很快四處散開，使得概念的提出者聲名遠(yuǎn)播，一篇并非刊登在頂尖數(shù)學(xué)期刊，而是發(fā)表在主要面向大學(xué)生的闡述性數(shù)學(xué)雜志上的短文成了掀起數(shù)學(xué)界、科學(xué)界和工程界對(duì)混沌動(dòng)力系統(tǒng)理論和應(yīng)用研究新熱潮的開路先鋒之作。

根據(jù)美國(guó)科學(xué)記者格萊克?(James Gleick，1954-)?在其科普名著 Chaos：Making a New Science（第二版中譯本《混沌：開創(chuàng)一門新科學(xué)》，2021年出版）中的敘述，1975年，約克參加了在東柏林舉辦的一個(gè)非線性振蕩國(guó)際會(huì)議，做完關(guān)于“李-約克混沌”的報(bào)告后，他和同行出去逛了逛。在一條游艇上，一個(gè)蘇聯(lián)參會(huì)者突然走近了他，急切地想與之交談。但他們一個(gè)不會(huì)俄語，另一個(gè)英文不佳，幸好在一位既懂英文、又通俄文的波蘭朋友（我猜測(cè)他是約克長(zhǎng)期的合作者、波蘭科學(xué)院院士洛速達(dá) (Andrzej Lasota，1932-2006)）的幫助下，約克才聽懂對(duì)方向他宣稱自己已經(jīng)證明了同樣的結(jié)果，但是拒絕給出更多的細(xì)節(jié)，說他會(huì)寄上文章。四個(gè)月以后，約克收到了那位蘇聯(lián)人——正是沙可夫斯基寄來的論文復(fù)印件。果然如此，沙可夫斯基的結(jié)果較李-約克定理中關(guān)于周期點(diǎn)的結(jié)論更為一般。

正如前述，蘇聯(lián)時(shí)代的數(shù)學(xué)研究系統(tǒng)而又深入，雖然有時(shí)與應(yīng)用脫鉤，但蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家們經(jīng)常走在西方同行的前面，這樣的例子舉不勝舉。比如說，當(dāng)在美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室工作的印度人卡瑪卡（Narendra Karmarkar，1956-)?于1984年發(fā)表了一篇開創(chuàng)性論文，提出了求解線性規(guī)劃的“投影變換內(nèi)點(diǎn)算法”后，蜂擁而上的研究者們很快發(fā)現(xiàn)其原始想法類似于蘇聯(lián)人大約早十年之前提出過的“仿射尺度變換法”。求解線性規(guī)劃問題的經(jīng)典單純形方法，在經(jīng)過二戰(zhàn)實(shí)踐的丹齊克?(George Dantzig，1914-2005)?于1947年發(fā)明它之前，其基本思路就已經(jīng)包含在蘇聯(lián)杰出數(shù)學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家康托諾維奇?(Leonid Kantorovich，1912-1986)?在1939年所寫的一本書《生產(chǎn)組織與計(jì)劃中的數(shù)學(xué)方法》中，后者因此而和美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱章?(Tjalling Koopmans，1910-1985)?分享了1975年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

杰出的俄羅斯數(shù)學(xué)家阿諾德?(Vladimir Arnold，1937-2010)，很有民族自尊心，也富有底氣地冷嘲熱諷過美國(guó)同行：你們美國(guó)人搞的東西，我們蘇聯(lián)人早就搞過了。在蘇聯(lián)解體后俄國(guó)經(jīng)濟(jì)大滑坡、人民生活水準(zhǔn)大倒退的上世紀(jì)九十年代初那幾年，他甚至抨擊過學(xué)術(shù)道德品行欠佳的個(gè)別美國(guó)數(shù)學(xué)教授以提供經(jīng)濟(jì)資助為誘餌趁火打劫，試圖偷竊俄羅斯數(shù)學(xué)家的科研成果。

自然，約克和他的博士生李天巖沒有偷窺過沙可夫斯基的成果，反過來，后者可能要感謝前者幫助自己“出大名”。就像1972年約克給包括菲爾茲獎(jiǎng)得主斯梅爾?(Stephen Smale，1930-)?在內(nèi)的同行到處寄送洛倫茨論文復(fù)印件而導(dǎo)致坊間流傳“約克發(fā)現(xiàn)了洛倫茨”，他和沙可夫斯基在歐洲的“不期而遇”也可視為“約克發(fā)現(xiàn)了沙可夫斯基”。沙可夫斯基的俄語文章入境美國(guó)后，很快他的定理被翻譯成西方人能看懂的文字發(fā)表，1977年《數(shù)學(xué)物理通訊》刊登了一篇文章A Theorem of Sharkovsky on the Existence of Periodic Orbits of Continuous Endomorphisms of the Real Line（關(guān)于實(shí)數(shù)軸上連續(xù)自同態(tài)周期軌道存在性的沙可夫斯基定理），兩年后“沙可夫斯基排序?(Sharkovsky ordering)?”的數(shù)學(xué)術(shù)語也首次出現(xiàn)在文獻(xiàn)中。由于沙可夫斯基定理的原始證明頗為繁瑣，不易看懂，好幾個(gè)基于圖論等組合思想的新證明應(yīng)運(yùn)而生，其中的兩個(gè)于1981年和2004年分別由兩位華人數(shù)學(xué)家?(美國(guó)南伊利諾伊大學(xué)的何崇武 (Chung-Wu Ho) 和臺(tái)灣“中央研究院”數(shù)學(xué)研究所的杜寶生 (Bau-Sen Du))?發(fā)表。

很快，沙可夫斯基的大名像“李-約克”一樣傳遍了五湖四海，尤其在離散動(dòng)力系統(tǒng)這一隨即快速發(fā)展的領(lǐng)域。這個(gè)數(shù)學(xué)分支的通俗說法就是“函數(shù)迭代”，就像在計(jì)算器上輸進(jìn)一個(gè)數(shù)，比方說0.5，然后一次次地按x2平方鍵后可依次看到結(jié)果0.5，0.25，0.0625，……。早先，一部分“高大上”的數(shù)學(xué)家以為離散動(dòng)力系統(tǒng)就像只用計(jì)算機(jī)加減乘除的計(jì)算數(shù)學(xué)一樣，幾乎是門簡(jiǎn)單的“玩具數(shù)學(xué)”，可是一看到沙可夫斯基的奇妙定理，以及李-約克定理中的驚人結(jié)論“周期三將導(dǎo)致亂七八糟”，才恍然大悟原來“看似簡(jiǎn)單的函數(shù)可以呈現(xiàn)出復(fù)雜無比的動(dòng)力學(xué)行為”，而這一觀察現(xiàn)已成為“復(fù)雜性理論”這一熱門學(xué)科的基本前提了。1993年，斯普林格出版了兩位荷蘭數(shù)學(xué)家的600頁(yè)專著One Dimensional Dynamics（一維動(dòng)力學(xué)），將復(fù)雜多變需要眾多現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論相助的離散動(dòng)力系統(tǒng)蔚然大觀地展現(xiàn)在讀者面前。

正因?yàn)樯晨煞蛩够ɡ碓陔x散動(dòng)力系統(tǒng)中的基礎(chǔ)性和重要性，許多這門學(xué)科的教科書只講這個(gè)定理，而對(duì)李-約克定理只字不提，因?yàn)榫椭芷邳c(diǎn)而言，當(dāng)周期三點(diǎn)存在時(shí)，后者只是前者的一個(gè)特例。然而，周期點(diǎn)表達(dá)的只是函數(shù)迭代過程的那部分“正規(guī)性態(tài)”，像月亮每月圍繞地球轉(zhuǎn)一圈那樣的周而復(fù)始無窮下去，沒有任何混沌行為。而揭示出混沌重大意義的李-約克定理之第二結(jié)論才深刻地反映出自然界的一個(gè)本質(zhì)現(xiàn)象：混沌映射的逐次迭代點(diǎn)列關(guān)于初始點(diǎn)的敏感依賴性，以及由此產(chǎn)生的混沌軌道最終走向的不可預(yù)測(cè)性。它向科學(xué)界給出了一個(gè)超乎于數(shù)學(xué)結(jié)果的信息：混沌無處不在。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，李天巖與約克的這篇論文可能是數(shù)學(xué)界及物理學(xué)界被引述次數(shù)最多的當(dāng)代重要論文之一，至今已被引用了5495次?(來自谷歌學(xué)術(shù))?。

永存的烏克蘭數(shù)學(xué)家

沙可夫斯基并非靠他大腦靈光一閃憑空而出地想到他那絕妙的“自然數(shù)排序”而獲得優(yōu)美的周期點(diǎn)周期模式，而是從研究生階段起他就開啟了對(duì)離散動(dòng)力系統(tǒng)的研究，他的傳世定理是他所花時(shí)間蒸餾而成的結(jié)晶。他1961年答辯的博士論文是Some Problems of the Theory of One-dimensional Iterative Processes?(一維迭代過程理論的幾個(gè)問題)，六年后他以論文On ω -limit Sets of the Discrete Dynamical Systems?(關(guān)于離散動(dòng)力系統(tǒng)的 ω-極限集)?拿到國(guó)家科學(xué)博士學(xué)位證書。他是離散動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域的先驅(qū)之一，一生發(fā)表了大約250篇研究論文，并出版了七本學(xué)術(shù)著作，它們分布在動(dòng)力系統(tǒng)、微分及差分方程、數(shù)學(xué)物理和拓?fù)鋵W(xué)等領(lǐng)域。他獲得過幾個(gè)重要的獎(jiǎng)項(xiàng)，包括2010年的國(guó)家科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)。他于1978年成為烏克蘭科學(xué)院的通訊院士，2006年被選為正式院士。三十年前，他曾在約克所在的馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系擔(dān)任過兩年的訪問教授，相信那時(shí)的他英文已經(jīng)足夠好到無需翻譯就可以同幽默的約克互開玩笑了。他也應(yīng)邀訪問過十多個(gè)國(guó)家和地區(qū)，包括中國(guó)大陸和臺(tái)灣地區(qū)。

新冠疫情暴發(fā)前后的三年半內(nèi)，僅混沌領(lǐng)域我所知道的就有四位先驅(qū)離開了人世。他們當(dāng)中，費(fèi)根鮑姆普適常數(shù)的發(fā)現(xiàn)人、沃爾夫物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者費(fèi)根鮑姆(Mitchell Feigenbaum，1944-2019)?于2019年6月30日在74周歲時(shí)去世；2020年4月28日，羅伯特·梅爵士也以74周歲去世；同年6月25日，我的博士論文導(dǎo)師李天巖教授離開人間，享年75周歲；而十多天前的2022年11月21日, 沙可夫斯基教授在85周歲的高齡上逝世，如果不是因?yàn)榘肽陜?nèi)兩次感染新冠病毒而傷害了他的身體，如果不是因?yàn)樗淖鎳?guó)正在遭受外來炮火的摧殘而傷害了他的民族自尊心，他本應(yīng)該活得更久一些。

烏克蘭不僅曾是蘇聯(lián)的糧倉(cāng)，而且也一直是盛產(chǎn)名人的沃土。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫?(Andrey Kolmogorov，1903-1987)?著名的弟子、沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)獲得者蓋爾范德?(Israel Moiseevich Gelfand，1913-2009)?和阿諾德都出生在烏克蘭，今年獲得菲爾茲獎(jiǎng)的女?dāng)?shù)學(xué)家維亞佐夫斯卡?(Maryna Sergiivn Viazovska，1984-)?也是烏克蘭人，而且是第二個(gè)獲得此獎(jiǎng)的同胞，第一個(gè)是1990年得獎(jiǎng)的德林費(fèi)爾德?(Vladamir Drinfeld，1954-)。在“萬神殿”網(wǎng)頁(yè)?(pantheon.world)?上列出了有史以來最傳奇的十位烏克蘭數(shù)學(xué)家，阿諾德和蓋爾范德分別排在第三和第七，而我最崇拜的數(shù)學(xué)科學(xué)家之一、美國(guó)“氫彈之父”烏拉姆?(Stanislaw Ulam，1909-1984)?則排在第一。烏拉姆出生于奧匈帝國(guó)統(tǒng)治下的波蘭城市利沃夫，它現(xiàn)在位于烏克蘭的西部。所以波蘭裔美國(guó)數(shù)學(xué)家烏拉姆也被說成是烏克蘭數(shù)學(xué)家。他與馮·諾伊曼?(John von Neumann，1903-1957)?及費(fèi)米?(Enrico Fermi，1901-1954)?被視為離散動(dòng)力系統(tǒng)的近親甚至代名詞“非線性分析”這一跨學(xué)科領(lǐng)域的共同創(chuàng)始人。或許沙可夫斯基從未見到過烏拉姆，但烏克蘭肥沃土地養(yǎng)育出的這兩代數(shù)學(xué)家，應(yīng)該是心有靈犀一點(diǎn)通的，因?yàn)樗麄兘K其一生都對(duì)“映射迭代”這一整個(gè)數(shù)學(xué)的重要問題而傾注熱情。

寫于2022年12月3日

（先母94周歲冥誕日）

美國(guó)哈蒂斯堡夏日山莊

出品：科普中國(guó)