連丁真都能看懂的方程推導(dǎo)，讓你在出租車上成為最健談的星！<1>

2023-04-26 23:16 作者:飛翔的果蠅 0人讀過 | 我要投稿

連丁真都能看懂的控制方程推導(dǎo)，你還愁看不懂嗎？我打算陸續(xù)在這個專欄寫完控制方程的推導(dǎo)過程，不知道能不能有這樣的毅力全部闡述完?？紤]到要讓審核這樣的人都能看懂，所以本專欄盡量使用通俗化的語言從最簡單的基礎(chǔ)知識入手，盡可能的將整個控制方程的推導(dǎo)過程科普給大家，但恕本人水平有限，專欄難免有錯誤及不嚴(yán)謹(jǐn)，請以流體力學(xué)相關(guān)書籍為準(zhǔn)！

如果你看完這篇文章后并沒有看懂，可以嘗試去理塘探尋丁真的世界，在理塘優(yōu)美的風(fēng)景下，別忘了買一些當(dāng)?shù)氐耐撂禺a(chǎn)電子煙，或許丁真要用來做紋影實(shí)驗(yàn)。

好了，話不多說了，我們首先要介紹一點(diǎn)點(diǎn)矢量分析和場論的內(nèi)容，不要被這些專有名詞嚇到，我只會列出一點(diǎn)點(diǎn)，不會很多，也不會很難。

向量什么是向量？向量（或者矢量）是一種同時擁有著大小與方向的量，他與僅有大小的數(shù)量相對應(yīng)，為了區(qū)分?jǐn)?shù)量和矢量，我們通常在矢量上面標(biāo)一個箭頭來表明他的屬性——就像下面這樣：

$%5Cvec%7Ba%7D%20$

同樣的，向量也可以通過在直角坐標(biāo)系上投影獲得各個坐標(biāo)軸上的數(shù)值，用數(shù)量來表示，比如下面這樣：

$%5Cvec%7Ba%7D%20%3Dx_a%5Cvec%7Bi%7D%20%2By_a%5Cvec%7Bj%7D%20%2Bz_a%5Cvec%7Bk%7D%20$ ，

其中 $%5Cvec%7Bi%7D$ , $%5Cvec%7Bj%7D$ , $%5Cvec%7Bk%7D$ 分別為沿著 $x$ , $y$ , $z$ 三個坐標(biāo)軸正向的單位矢量，這一形式也可以用坐標(biāo)來表示成 $%5Cvec%7Ba%7D%20%3D%5Cleft%20(%20x_a%2Cy_a%2Cz_a%20%5Cright%20)%20$ .

向量函數(shù)??我們已經(jīng)大致了解了什么是向量，接下來我們要了解何為“向量函數(shù)”，假設(shè)有一個數(shù)量變量 $t$ 和一個變化矢量 $%5Cvec%7BA%7D$ ，假如對于 $t%0A$ 在某個范圍 $G$ 內(nèi)的每一個數(shù)值， $%5Cvec%7BA%7D$ 都會以一個確定的矢量和他對應(yīng)，則稱 $%5Cvec%7BA%0A%7D$ 為數(shù)量 $t%0A$ 的向量函數(shù)，記作

$%5Cvec%7BA%7D%3D%5Cvec%7BA%7D(t)$

當(dāng)然他也可以被表示成下面這個式子：

$%5Cvec%7BA%7D%3DA_x(t)%5Cvec%7Bi%7D%2BA_y(t)%5Cvec%7Bj%7D%20%2BA_z(t)%5Cvec%7Bk%7D%20%20$

接下來講述什么是“場”。場是一個客觀存在的事物，他是一個東西，我們生活中就無時不刻充斥著各種場，如果二次元里配有藝術(shù)字體的“氣場”也能被稱為場的話，那么場還存在于整個異世界冒險(xiǎn)輕小說。如果在空間或者部分空間里的每一個點(diǎn)都對應(yīng)這某個物理量的確定的值，那么就可以認(rèn)為這個空間里確定了該物理量的一個場，如果這個場是矢量，那么就叫矢量場，如果是標(biāo)量，那就叫做標(biāo)量場。

很好，既然我們已經(jīng)有了場的概念，我們就可以去了解關(guān)于場的幾個延申出來的東西了。

哈密頓算子 先了解一個符號 $%5Cnabla$ ，這個符號有助于我們讓公式更加簡單好記，更加美觀，同時也有助于少打不少的偏導(dǎo)符號。

$%5Cnabla%20%5Cequiv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cvec%7Bi%7D%20%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cvec%7Bj%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%5Cvec%7Bk%7D%20%20$

哈密頓算子是一個矢性微分算子，他既是一個運(yùn)算符號，也是一個矢量，有著矢量和微分的雙重特性，他的運(yùn)算規(guī)則如下：

當(dāng)與數(shù)量相乘時：

$%5Cnabla%20u%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cvec%7Bi%7D%20%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cvec%7Bj%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%5Cvec%7Bk%7D%20%20$

當(dāng)與向量點(diǎn)乘時：

$%5Cnabla%20%5Ccdot%20%20%5Cvec%7BA%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_x%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cvec%7Bi%7D%20%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_y%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cvec%7Bj%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_z%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%5Cvec%7Bk%7D%20%20$

當(dāng)與向量叉乘時：

$%5Cnabla%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BA%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%5Cvec%7Bi%7D%20%20%26%5Cvec%7Bj%7D%20%20%20%26%20%5Cvec%7Bk%7D%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%20%20%26%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%20%26%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%20%5C%5C%20A_x%20%26%20A_y%20%26A_z%5Cend%7Bvmatrix%7D$

物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 聽起來可能很唬人，但從數(shù)學(xué)角度理解，不過是數(shù)學(xué)上的全微分罷了。假設(shè)一個函數(shù) $A(x%2Cy%2Cz%2Ct)%20%20$ ,那么他的全微分 $dA%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A%20%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20dx%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A%7D%7B%5Cpartial%20y%7Ddy%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A%7D%7B%5Cpartial%20z%7Ddz%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20dt%20%20%20%5Ctag%7B1.1%7D$

根據(jù)方程(1.1)，有：

$%5Cfrac%7BdA%7D%7Bdt%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A%20%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bdt%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%20%20%20%5Ctag%7B1.2%7D$

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%20%3Du%20%5C%5C%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D%20%3Dv%20%5C%5C%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bdt%7D%20%3Dw%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%20.%5Ctag%7B1.3%7D" alt="%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%20%3Du%20%5C%5C%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D%20%3Dv%20%5C%5C%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bdt%7D%20%3Dw%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%20.%5Ctag%7B1.3%7D">

其中 $u%2Cv%2Cw$ 分別時三個方向的速度分量，那么將（1.3）帶入到（1.2）中，有：

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20A%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20t%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%20%2B%5Cvec%7BV%7D%5Ccdot%20%20%5Cnabla%20A%20%5Ctag%7B1.4%7D$

不過任何數(shù)學(xué)公式脫離了物理含義后，都是不夠完美的，物質(zhì)導(dǎo)數(shù)在物理中有著其特定的含義，但是我才寫了這么一點(diǎn)我就已經(jīng)不想碰鍵盤了，等下次吧！不定期更新。

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