//今天是2021年3月14日，傳說中的日。

//同時也是物理學之神A.Einstein的142周年誕辰。

//以及是玩黑洞的S.J.Hawking逝世3周年。

//在這一天我想寫一些不太一樣的內(nèi)容。我告訴你n維球的表面積不僅與有關(guān)，還和氣體分子速率分布有關(guān)，你是否會覺得奇怪？那么往下看下去吧...

常數(shù)，被定義為圓的周長與直徑之比，廣泛出現(xiàn)在各種計算、公式、模型中，是最廣為人知的無理數(shù)、超越數(shù)。

而在熱學中我們會了解到，單組分、平衡態(tài)的氣體，分子在某個方向的速度分布滿足以下麥克斯韋速度分布(這是一個概率分布函數(shù))：

其中，是氣體分子的質(zhì)量，是溫度，而是玻爾茲曼常數(shù)。可以取.

我們可以看到這是一個正態(tài)分布的形式。這很合理對吧。所以我們遇到了第一個關(guān)于的問題：速率分布函數(shù)里面的是怎么出現(xiàn)的？

我們知道，作為一個概率分布函數(shù)，是必須滿足歸一化的：

也就是說，一個分子出現(xiàn)這一方向所有可能速度分量的概率總和為1，這很顯然。

在求積分?時，被積函數(shù)是沒有初等形式的原函數(shù)的，但是可以用到一個巧妙的操作，將它化為對整個二維平面的積分，我在費曼講義上第一次見到這種操作：

首先將積分平方化為對整個二維平面的積分，再把積分改寫為極坐標，從而嚴格求出了結(jié)果。的出現(xiàn)就是由于取極坐標這一操作。

有了這個積分的值，再代入就不難驗證前面的速度分量分布滿足歸一化了。這里再提一句，通過求得的這個積分式對偏導，我們可以求得高斯積分：

其中，系數(shù)需要分奇偶討論：

記住這個結(jié)果，后面要用到它。

我們簡單由速度分布推到速率分布：速率為的分子將分布在速度空間里以為半徑的球表面，所以速率分布函數(shù)的形式應(yīng)該是速度分布函數(shù)乘球表面積的形式：(注意是不帶方向的速率！)

接下來我將告訴你一個比較奇怪的事實：我可以由熱力學中的能均分定理和麥克斯韋速率分布推出n維球的表面積公式！

能均分定理是熱力學中的一條重要定理，說的是熱平衡態(tài)的氣體每個自由度的平均動能是相同的，每個自由度平均每個分子的動能均為。自由度，大致可以理解為允許自由運動的方向，包括平動與轉(zhuǎn)動：一個粒子，可以橫著動，豎著動，前后動，這是3個自由度；如果這是一個分子，還可以在3個不同方向轉(zhuǎn)動，也是3個自由度。

那么考慮n維空間的情況，如果只考慮平動，則在n維空間共有n個自由度，分子平均平動動能為

要計算速率分布函數(shù)，先考慮若n維球的表面積計算公式為

其中是待定系數(shù)。顯然由對稱性任意維空間任意方向的速度分量分布都和三維x方向一樣，所以n維的氣體速率分布為

接下來又根據(jù)前面討論的能均分定理，

再利用前面高斯積分的結(jié)果：

得到

所以n維球的表面積公式是

還記得當初見到這種神奇操作是在物競書上（好像是鄭永令的國培）。當時一直感到疑惑，高維球表面積公式這個理應(yīng)是純數(shù)學的東西卻可以由兩條熱力學規(guī)律導出?，F(xiàn)在回過頭來思考，其實能均分定理終究是一個定理，它是可以被證明的。而且從另一個角度考慮，其實我們也可以選擇不使用能均分定理。直接利用速率分布函數(shù)的歸一化：

從而直接得到

雖然這個結(jié)果和上面有一點點不一樣，但是回頭仔細看一下：

你會發(fā)現(xiàn)恰好有，所以前面兩次的結(jié)果是完全相等的！球表面積公式應(yīng)該是

其中，.

寫到這里再看，其實能均分定理根本沒有起到?jīng)Q定性作用。我有一種感覺，我們在默認各個方向的分子速度分量分布函數(shù)具有相同形式時，似乎也就默認以能均分定理作為大前提了。從而在后面步驟中根本沒有使用能均分定理的必要。

另外，n維球的表面積公式一定可以通過純幾何導出，這一點是必然正確的，因此我們前面的操作，某種程度上可以說與能均分定理的證明的某些步驟在數(shù)學上等價。

那么這就是在這個? day我想說的一些與、球和熱力學有關(guān)的故事。

參考文獻

[1] Richard Feynman.?The Feynman?Lectures on Physics (The New Millenium Edition, Volume I). 上海：上?？萍汲霭嫔纾?013.4. 415~418.

[2] 忘了是哪里看的。

[3] 我自己遠古時期的筆記。