[CH9]弱周期勢中的電子

2023-02-18 17:51 作者:啊嗚西嗚安 0人讀過 | 我要投稿

如果周期勢場非常弱，我們也可以獲得電子能級的結(jié)構(gòu)。對周期表第1-4族金屬的電子理論以及實驗研究表明傳導(dǎo)電子可以被描述為以幾乎恒定的勢在移動。這些金屬被稱為近自由電子金屬，因為他們用弱周期勢修飾的Sommerfeld自由電子氣描述。本章我們將從自由電子角度對能帶特性進(jìn)行探究。對于特定金屬我們將在CH15進(jìn)行討論。金屬的導(dǎo)帶可以從自由電子的角度進(jìn)行分析不是這么顯然，我們對此作兩點基本解釋，說明為什么導(dǎo)帶的電子-電子相互作用以及離子相互作用對弱周期勢沒有影響。

電子-離子相互作用在它們之間的距離很小時比較強(qiáng)，但是傳導(dǎo)電子因為泡利不相容原理被禁止進(jìn)入臨近的原子，因為這些能級已經(jīng)被芯電子占據(jù)了。
在允許傳導(dǎo)電子存在的區(qū)域內(nèi)，它們的運動進(jìn)一步削弱了單個電子感受到的勢能，因為它們可以屏蔽正電離子場，降低總的勢能。

薛定諤方程處理弱周期勢場的一般方法

當(dāng)周期勢為0時，薛定諤方程的解為平面波。所以，處理弱周期勢的合理方法為CH8描述的平面波展開。具有晶體動量的布洛赫能級的波函數(shù)可以寫為 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cpsi_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D%7D(%5Ctextbf%7Br%7D)%3D%5Csum_%5Ctextbf%7BK%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7De%5E%7Bi(%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D)%5Ccdot%5Ctextbf%7Br%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.1%7D$

這里系數(shù)c和能量對應(yīng)的能量E由CH8出現(xiàn)的公式?jīng)Q定 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D(%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D)%5E2-E%5Cright%5Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%2B%5Csum_%7B%5Ctextbf%7BK%7D%5E%5Cprime%7DU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D%5E%5Cprime-%5Ctextbf%7BK%7D%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%5E%5Cprime%7D%3D0%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.2%7D$

這里一個k，對應(yīng)于公式(9.2)都有很多個解，不過這里的E為電子受到弱周期勢的能量，而不是自由電子的能量。公式(9.1)的求和對應(yīng)的是所有倒格矢，波矢k固定在第一布里淵區(qū)內(nèi)?？醋髯杂呻娮訒r，所有勢能項都為0，所以公式(9.2)可以寫為 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A(E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0-E)c_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%3D0%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.3%7D$

其中 $%5Cbegin%7Balign%7D%0AE_%7B%5Ctextbf%7Bq%7D%7D%5E0%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7Dq%5E2%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.4%7D$

公式(9.3)需要 $c_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%3D0$ 或者 $E%3DE_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0$ 。除非對于幾個不同的 $%5Ctextbf%7BK%7D$ ，能量都相等，否則后者只在某些單獨的 $%5Ctextbf%7BK%7D$ 成立。這樣就得到了非簡并的自由電子解 $%5Cbegin%7Balign%7D%0AE%3DE_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0%2C%20%5Cpsi_%5Ctextbf%7Bk%7D%5Cpropto%20e%5E%7Bi(%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D)%5Ccdot%5Ctextbf%7Br%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.5%7D$

然而，若存在一組倒格矢滿足 $%5Cbegin%7Balign%7D%0AE_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%5E0%3DE_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_2%7D%5E0%3D%5Ccdots%3DE_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_m%7D%5E0%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.6%7D$

則存在m個簡并的平面波解。由于簡并解的線性疊加仍為一個解，則可以完全自由的選擇系數(shù)c。

當(dāng)勢場不為0但是非常小時，通過上面這些結(jié)論我們可以獲得更多信息。分析仍對應(yīng)兩種情況，即簡并或者非簡并。

先考慮非簡并的情況。對于固定的波矢k，同時有一個固定的倒格矢 $%5Ctextbf%7BK%7D_1$ 。其自由電子能量為 $E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%5E0$ ，該能量與其他倒格矢下的自由電子能量離散，并且能量間隔遠(yuǎn)大于勢能U。即 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%7CE_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%5E0-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0%7C%5Cgg%20U%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.7%7D$

我們首先分析倒格點 $%5Ctextbf%7BK%7D_1$ 的情況，即令公式(9.2)中的 $%5Ctextbf%7BK%7D%3D%5Ctextbf%7BK%7D_1$ ，公式(9.2)可以寫為 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A(E-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D)c_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%3D%5Csum_%5Ctextbf%7BK%7DU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.9%7D$ 我們令 $U_0%3D0$ ，這時公式(9.9)右邊變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cbegin%7Balign%7D%0A(E-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%5E0)c_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%3D%5Csum_%7B%5Ctextbf%7BK%7D%5Cneq%20%5Ctextbf%7BK%7D_1%7DU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.10%7D" alt="%5Cbegin%7Balign%7D%0A(E-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%5E0)c_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%3D%5Csum_%7B%5Ctextbf%7BK%7D%5Cneq%20%5Ctextbf%7BK%7D_1%7DU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.10%7D">

我們再來分析其他倒格點的情況。當(dāng)公式(9.2)中的 $%5Ctextbf%7BK%7D%5Cneq%20%5Ctextbf%7BK%7D_1$ ，公式(9.2)可以寫為 $%5Cbegin%7Balign%7D%0Ac_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%26%3D%5Cfrac%7BU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D_1-%5Ctextbf%7BK%7D%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%7D%7BE-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0%7D%2B%5Csum_%7B%5Ctextbf%7BK%7D%5E%5Cprime%5Cneq%20%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%5Cfrac%7BU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D%5E%5Cprime-%5Ctextbf%7BK%7D%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%5E%5Cprime%7D%7D%7BE-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7BU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D_1-%5Ctextbf%7BK%7D%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%7D%7BE-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0%7D%2BO(U%5E2)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.11%7D$

公式(9.11)代入(9.9) $%5Cbegin%7Balign%7D%0A(E-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%5E0)c_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%3D%5Csum_%7B%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5Cfrac%7BU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7DU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D_1-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%7D%7BE-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%2BO(U%5E3)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.12%7D$

所以最后求得的微擾能量為 $%5Cbegin%7Balign%7D%0AE%3DE_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%5E0%2B%5Csum_%5Ctextbf%7BK%7D%5Cfrac%7B%7CU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%7C%5E2%7D%7BE_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%5E0-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0%7D%2BO(U%5E3)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.13%7D$ 這里繞來繞去的感覺很別扭。其實很多教科書直接用初量學(xué)的微擾公式求的，很方便。從公式(9.13)可以看出，高于 $%5Ctextbf%7BK%7D_1$ 的帶將對其能量起到正向的貢獻(xiàn)，反之，則導(dǎo)致其能量降低。但是由于由于第二項為二階小量，所以在非簡并的區(qū)域能量的變化不是很明顯。但是我們接下來會看到簡并能量區(qū)域由于線性項導(dǎo)致該區(qū)域出現(xiàn)較大的能量偏移。

簡并區(qū)域，對于固定波矢，存在一系列倒格矢，它們之間能量差保持在U的量級，但與其他波矢下的自由電子能量差遠(yuǎn)大于U，即 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A%7CE_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_i%7D%7C%5Cgg%20U%2C%20i%3D1%2C%5Ccdots%20%2Cm%2C%20%5Ctextbf%7BK%7D%5Cneq%20%5Ctextbf%7BK%7D_1%2C%5Ctextbf%7BK%7D_2%2C%5Ccdots%2C%5Ctextbf%7BK%7D_m%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.14%7D$ 與非簡并的時候一樣，對 $%5Ctextbf%7BK%7D_i$ 點的能量做類似的分析，存在m個公式滿足 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A(E-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_i%7D%5E0)c_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_i%7D%3D%5Csum%5Em_%7Bj%3D1%7DU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D_j-%5Ctextbf%7BK%7D_i%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_j%7D%2B%5Csum_%7B%5Ctextbf%7BK%7D%5Cneq%20%5Ctextbf%7BK%7D_1%2C%5Ccdots%20%2C%5Ctextbf%7BK%7D_m%7DU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_i%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%2Ci%3D1%2C%5Ccdots%20%2Cm%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.15%7D$

同樣的，我們還可以寫出 $%5Ctextbf%7BK%7D%5Cneq%20%5Ctextbf%7BK%7D_i$ 點的能量 $%5Cbegin%7Balign%7D%0Ac_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BE-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0%7D%5Csum%5Em_%7Bj%3D1%7DU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D_j-%5Ctextbf%7BK%7D%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_j%7D%2BO(U%5E2)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.16%7D$

第二項為一二階小量，將公式(9.16)代入(9.15)可得

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A(E-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_i%7D%5E0)c_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_i%7D%3D%5Csum%5Em_%7Bj%3D1%7DU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D_j-%5Ctextbf%7BK%7D_i%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_j%7D%2BO(U%5E2)%2BO(U%5E3)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.17%7D$

這里可以看到簡并情況的能量變化與U呈線性關(guān)系，即自由電子能量曲線在圖1陰影部分能量出現(xiàn)較大偏移，形成帶隙。

靠近Bragg面的能級

我們首先考慮最簡單的情況，存在兩個自由電子能級的差在U的量級。根據(jù)公式(9.15)，有 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A(E-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%5E0)c_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D%26%3DU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D_2-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_2%7D%2C%5C%5C%0A(E-E_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_2%7D%5E0)c_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_2%7D%26%3DU_%7B%5Ctextbf%7BK%7D_1-%5Ctextbf%7BK%7D_2%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%7D.%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.18%7D$

進(jìn)行坐標(biāo)代換 $%5Ctextbf%7Bq%7D%3D%5Ctextbf%7Bk%7D-%5Ctextbf%7BK%7D_1%2C%5Ctextbf%7BK%7D%3D%5Ctextbf%7BK%7D_2-%5Ctextbf%7BK%7D_1$ ，公式(9.18)變?yōu)?/p>

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A(E-E_%5Ctextbf%7Bq%7D%5E0)%26%3DU_%5Ctextbf%7BK%7Dc_%7B%5Ctextbf%7Bq%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%2C%5C%5C%0A(E-E_%7B%5Ctextbf%7Bq%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0)c_%7B%5Ctextbf%7Bq%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%26%3DU_%7B-%5Ctextbf%7BK%7D%7Dc_%5Ctextbf%7Bq%7D%3DU_%5Ctextbf%7BK%7D%5E%5Cstar%20c_%5Ctextbf%7Bq%7D.%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.19%7D$

只有當(dāng) $%7C%5Ctextbf%7Bq%7D%7C%3D%7C%5Ctextbf%7Bq%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7C$ 的時候， $E_%5Ctextbf%7Bq%7D%5E0%3DE_%7B%5Ctextbf%7Bq%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0$ 。這意味著波矢 $%5Ctextbf%7Bq%7D$ 一定在Bragg平面上，如圖2。

公式(9.19)的解為 $%5Cbegin%7Balign%7D%0A(E-E_%5Ctextbf%7Bq%7D%5E0)(E-E_%7B%5Ctextbf%7Bq%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0)%3D%7CU_%5Ctextbf%7BK%7D%7C%5E2%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.20%7D$

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AE%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(E_%5Ctextbf%7Bq%7D%5E0%2BE_%7B%5Ctextbf%7Bq%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0)%5Cpm%20%5Cleft%5B%5Cleft(%20%20%20%20%5Cfrac%7BE_%5Ctextbf%7Bq%7D%5E0-E_%7B%5Ctextbf%7Bq%7D-%5Ctextbf%7BK%7D%7D%5E0%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2B%7CU_%5Ctextbf%7BK%7D%7C%5E2%5Cright%5D%5E%7B1%2F2%7D%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.21%7D$

當(dāng)波矢q靠近Bragg平面時，其能量發(fā)生劈裂。同樣也可以從公式(9.21)可知，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctextbf%7Bq%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7Bm%7D(%5Ctextbf%7Bq%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctextbf%7BK%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D%0A%5Ctag%7B9.22%7D$

當(dāng)q點在Bragg平面上時，能量E的梯度平行于Bragg面，也就是說所有在Bragg面上的點的能量都變化大小相同。

能帶結(jié)構(gòu)不同表示

我們可以使用一條波矢在多個布里淵區(qū)內(nèi)表示能帶結(jié)構(gòu)，如圖3(e)。也可以使用很多波矢在第一布里淵區(qū)內(nèi)表示能帶結(jié)構(gòu)，如圖3(f)?；蛘?，我們可以用多個波矢在多個布里淵區(qū)內(nèi)表示能帶結(jié)構(gòu)，如圖3(g)。

三維狀態(tài)下的能帶結(jié)構(gòu)

三維狀態(tài)下的能帶結(jié)構(gòu)通常用E-k圖像來表示，這樣的曲線通常畫在約化布里淵區(qū)中。在三維狀態(tài)下，即使是自由電子近似，其圖像也十分復(fù)雜，如圖4。這些曲線都是高度簡并的，因為這些k點點路徑都具有很高的對稱性。加入弱周期勢場在一定程度上會打破它們的對稱性，使其一部分簡并消失。至于哪些簡并會被打破則是群論的問題了。

布里淵區(qū)

對電子使用弱周期勢場理論會導(dǎo)致三維狀態(tài)下能帶結(jié)構(gòu)變得非常復(fù)雜。并且確定費米面以及費米面附近的能量很重要。

在處理弱周期勢場時的第一步是畫出自由電子的費米球，且球心波矢為0。下一步是對費米球進(jìn)行變形，如圖4。當(dāng)費米球穿過Bragg平面時，其能量將會改變，即第一節(jié)所介紹的簡并能級的情況(當(dāng)然，此時 $U_%5Ctextbf%7BK%7D%5Cneq%200$ )。最后，取自由電子費米球表面位于第n布里淵區(qū)的部分，通過所有的倒格矢進(jìn)行平移。最后得到的平面是第n條帶費米面的分支。

標(biāo)簽：筆記材料固體物理凝聚態(tài)物理學(xué)習(xí)