//本節(jié)作為分析力學的一個小小的推廣，和經(jīng)典的電磁場結合

//用分析力學的方式研究電磁場中帶電粒子的運動。

0 電動力學回顧

首先，我們簡單回顧一下經(jīng)典電磁場理論。電場與磁場矢量??由電荷密度與電流密度決定，它們滿足麥克斯韋方程：

帶電粒子在電磁場中運動時，受到電磁力為

此外，我們在電磁學中定義電勢與磁矢勢，滿足：

1 拉格朗日量

接下來，我們希望推廣分析力學體系，找到一個能描述電磁場中粒子的拉格朗日量，也就是：

(我是不是還沒介紹過對矢量求導這種操作？標量對矢量求導的定義是：

我最早是在朗道書上看到的這種寫法。這種寫法的拉格朗日方程就比較簡潔。在這種定義下，標量對位矢求導其實相當于給出該標量的梯度。)

我們可以先不加證明地給出粒子的拉格朗日量：

所以接下來試圖證明一下：

而對于前面給出的拉格朗日量，

接下來，利用矢量場微分公式：

計算中要時刻注意，這里需要把? 看作獨立的變量，所以? 直接作用于速度的項均為0.

接下來，對比幾式不難證明牛二定律給出的方程和拉格朗日方程等價。

可以看到，此時的拉格朗日量不再是 T-V 的形式，其勢能項由“廣義勢”代替：

廣義勢和速度有關，而和傳統(tǒng)意義上的勢能就無關了。

2 哈密頓量

根據(jù)哈密頓力學中對廣義動量的定義，可以給出粒子的廣義動量

再按哈密頓量的定義，給出

代入，得到

于是哈密頓量依舊表示了粒子在場中的總能量。(你可能覺得有點奇怪，這個表達式里面沒有 A 場，也就是沒有了決定磁場的項。出問題了嗎？) 但是別忘了哈密頓量是位置和動量的函數(shù)，也就是

以上是電磁場中粒子的哈密頓量。

還記得理論力學課上教授花了不少時間講相關的內(nèi)容。老師是做理論的，數(shù)理基礎相當扎實。大家或許會有興趣看一眼當時的板書：（我不說是理力你肯定以為我們又在打《電動》了吧）

3 作用量&考慮相對論的情況

把作用量放在最后，或許不是很符合正常的邏輯結構。不過這部分我最不熟悉，所以留到最后，可能有不準確的地方。這一部分筆記參照了劉川理論力學講義和朗道場論的內(nèi)容。

根據(jù)作用量的定義，顯然是

而事實上，在相對論世界，我們更關系一個粒子的時空坐標。朗道《場論》給出電磁場中粒子作用量有這樣的形式：

上式中使用了愛因斯坦求和約定，即默認對 i 求和。ds是粒子時空坐標的微分，??是電勢、磁矢勢構成的四維矢量。

基于此，容易推出相對論修正后的拉格朗日量形式：

當然，最后體現(xiàn)出來的效果就是對質(zhì)量給出了修正，而體現(xiàn)電磁場影響的兩項都不變。這也不難理解，電荷作為洛倫茲標量不受相對論影響，需要修正的也就只有質(zhì)量了。

此外，既然哈密頓量仍然是粒子總能量，不難考慮到相對論修正的結果是

仍然要寫成廣義動量的顯式，可以證明

這里，粒子的正則動量變成了

可以看到，仍然是對質(zhì)量作出修正。