我們熟知下面的結(jié)論：

然而，利用Gamma函數(shù)，我們可以得到下面的結(jié)論：

于是，將這個式子代入最上面的式子，交換求和和積分，我們可以得到：

目前看來，我們把ζ(2)化成了一個積分表達式，但這并不能使我們滿足，我們嘗試改變分子x的指數(shù)，得到下面的積分：

我們可以這樣處理這個積分：

于是，我們把ζ函數(shù)用一類積分統(tǒng)一起來了。然而，我們并不想止步于此。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 我們現(xiàn)在嘗試改變分母的指數(shù)。鑒于分母不是單項式，我們從簡單的開始，不妨先把分母的指數(shù)定為2，得到這個積分：

計算一下，這個積分是發(fā)散的（實際上，這類積分只要分子的指數(shù)比分母小，積分就發(fā)散。證明不妨作為練習(xí)）。于是，我們升高分母的指數(shù)，得到：

這個積分是收斂的，但我們很快發(fā)現(xiàn)這個積分并不好處理，因為我們還不知道怎樣直接把它展開為無窮級數(shù)。這時候，我們就要請出另一個特殊函數(shù)：

多重對數(shù)函數(shù)

。

上面為多重對數(shù)函數(shù)的級數(shù)定義，下面則是它的積分遞推式。由這不難得出多重對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)遞推式：

并且我們有

我用Wolfram Alpha計算了a取不同值時的函數(shù)值，如下：

可以看到，分母出現(xiàn)了我們想要的形式，不難用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)多重對數(shù)函數(shù)的腳標(biāo)為負整數(shù)－s時，分母即為(1－括號里的數(shù))的(s+1)次方，但分子讓我們眼前一黑…… 不過好在分子再怎么復(fù)雜也只是一個常數(shù)罷了，這并不重要。我們已經(jīng)知道，當(dāng)多重對數(shù)函數(shù)的腳標(biāo)為負整數(shù)－a時，分母即為(1－括號里的數(shù))的(a+1)次方，分子是個多項式，不妨假設(shè)：

其中As(z)是關(guān)于z的多項式。那么，根據(jù)多重對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)遞推公式，對這個式子求導(dǎo)再乘個z，我們能夠得到As(z)的遞推關(guān)系：

這玩意，反正我不會解As(z)... OK，現(xiàn)在相當(dāng)于解決了分母帶次數(shù)的式子的級數(shù)展開了：

下面，我們就來求解一般的積分：

（P.S.鑒于up主稀爛的計算水平，煩請各位看官自己試著推導(dǎo)過程。如果發(fā)現(xiàn)您的計算結(jié)果和我的不一樣，我想大概率是我算錯了，亦或者是我的思路錯誤，歡迎在評論區(qū)指正。） －－－－－－－－The End－－－－－－－－