牛頓49、用平拋運動知識推導向心加速度公式

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2002年7月，李貴和老師發(fā)表名為“向心加速度公式推導方法錦集”的文章。

…速、度、速度，加，加速度：見《伽利略3、4》…

（…《伽利略》：小說名…）

…公：見《歐幾里得1》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…式、公式：見《歐幾里得132》…

…推、導、推導：見《歐幾里得7》…

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

文章內(nèi)容：勻速圓周運動知識是中學物理中的重要內(nèi)容之一，向心加速度的概念是其中的難點，難在物體的向心加速度是由于速度方向的變化而產(chǎn)生的（應為“向心加速度導致速度方向發(fā)生變化”。“向心加速度”是因，“速度方向發(fā)生變化”是果），其方向始終與物體的速度方向垂直。

…勻速圓周運動：見《牛頓42》…

…知、識、知識：見《歐幾里得5、6》…

…物、理、物理：見《歐幾里得139》…

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…

…速、度、速度，加，加速度：見《伽利略3、4》…

…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

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對此，可在復習勻變速直線運動和拋物運動、以及物體做曲線運動的條件的基礎上指出：

…變速直線運動：見《牛頓42》…

…拋物運動：見《牛頓43》…

…曲、線，運、動、運動，曲線運動：見《牛頓47、48》…

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當物體的加速度方向與其速度方向相同時，只改變物體的速度大小，物體做直線運動；

當物體的加速度與其速度方向相反時，既可改變物體速度大小，也可改變其速度方向，但物體仍做直線運動；

當物體的加速度方向與速度方向成某一角度（不在同一直線上）時，物體的速度大小和方向可能同時發(fā)生變化，物體做曲線運動；

當加速度方向與速度方向垂直時，僅改變速度方向而不改變速度大小。

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既然圓周運動是曲線運動，就一定具有一個與速度不在同一直線上的加速度，又由于勻速圓周運動的速度大小不變、僅方向改變，因此它的加速度必然與速度垂直且指向圓心，所以叫做向心加速度。

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關(guān)于向心加速度的推導方法，除了課本上所講的之外，筆者研究發(fā)現(xiàn)推導向心加速度公式的方法非常多。這些方法既可開拓學生思路，提高學生分析問題、解決問題的能力，又可供同行教學時參考。

…研、究、研究：見《歐幾里得42》…

…分、析、分析：見《歐幾里得36》…

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一、運用平拋運動知識推導

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這類方法是將物體在時間Δt內(nèi)的圓周運動，分解成沿圓周切線方向的勻速直線運動和沿半徑方向的初速為0的勻加速直線運動，類似于平拋運動。

…△：讀音是“德爾塔”。音標為/delt?/。

在物理學中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見《牛頓8》…

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1.如圖所示，物體以速率v做勻速圓周運動。

在時間△t內(nèi)，由A點移動到B點。

如果物體位于A點時，繩子的拉力作用消失，則物體將沿切線方向做勻速直線運動。

…切、線、切線：見《牛頓47》…

但實際上，物體在△t時間內(nèi)沿圓周運動到B點，這是由于物體還受到向心力作用。

…向、向心力：見《牛頓20、21》…

…作、用、作用：見《歐幾里得68》…

由于弧AB=v△t（路程=速度×時間），當△t很小時，有AB≈弧AB=v△t，而AE=1/2·a·△t^2（a為物體在A點的加速度）。

…^：乘方…

…△t^2：△t的平方…

…AE=1/2·a·△t^2：勻加速直線運動路程公式s=v0t+at2/2

v0=0時，s=at2/2…見《牛頓42》的“勻變速直線運動”…

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由平面幾何知識得：AB^2=AE·AC，而AC=2R，可得：

（v△t）^2=1/2·a·△t^2·2R

…AB^2=AE·AC：如下圖所示

∵ ∠1=∠1=90°；∠A=∠A

∴?△ABC~△AEB （兩角相等的兩個三角形相似）

∴?AB/AE=AC/AB

∴?AB^2=AE·AC…

整理得：a=v^2/R

對于上圖中的情形，又可推導如下：

EB^2=AE·EC=AE（AC-AE）

當△t很小時，AE相對于AC可忽略，即：EB^2=AE·AC

將EB=v△t，AE=1/2·a·△t^2，AC=2R代入，得：（v△t）^2=1/2·a·△t^2·2R

即 a=v^2/R

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“a=△v/△t：加速度定義（某段時間內(nèi)速度的變化與這段時間的比值，稱為這段時間的平均加速度）。

請看下集《牛頓50、用平拋運動知識推導向心加速度公式（二）》”

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