證明：1-cos(x)≤(1/2)x2

證明：令f(x)=(1/2)x2-1+cos(x)

則f'(x)=x-sin(x),f''(x)=1-cos(x)≥0

所以f'(x)在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒'(0)=0,所以當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)>0;當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)<0.

所以f(x)在（0，+∞）上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在（-∞，0）上嚴(yán)格單調(diào)遞減.又因?yàn)閒(0)=0,所以當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)>f(0)=0

所以f(x)=(1/2)x2-1+cos(x)≥0.

所以1-cos(x)≤(1/2)x2，原命題得證