四、利用指示器隨機變量來解如下的帽子核對問題(hat-heck problem):n位顧客，他們每個人給餐廳核對帽子的服務(wù)生一頂帽子。服務(wù)生以隨機順序?qū)⒚弊託w還給顧客。請問拿到自己帽子的客戶的期望數(shù)是多少?

文心一言：

我們可以將這個問題轉(zhuǎn)化為求解在指示器隨機變量基礎(chǔ)上的期望值。

已知有n位顧客。

已知服務(wù)生以隨機順序?qū)⒚弊託w還給顧客。

根據(jù)指示器隨機變量的定義，I(i)表示第i位顧客是否拿到了自己的帽子，其值為1表示拿到，0表示未拿到。

因為服務(wù)生歸還帽子是隨機的，所以每一位顧客拿到自己帽子的概率都是1/n。

根據(jù)期望值的定義，拿到自己帽子的客戶的期望數(shù)為：

E[I(1)] + E[I(2)] + ... + E[I(n)] = n × (1/n) = 1

所以，拿到自己帽子的客戶的期望數(shù)為1。

訊飛星火：

假設(shè)服務(wù)生將帽子歸還給顧客的順序是隨機的，那么拿到自己帽子的期望數(shù)可以通過以下步驟計算：

1.計算所有可能的歸還順序的數(shù)量。對于n位顧客，有n!種不同的歸還順序。

2.對于每一種歸還順序，計算有多少種情況是服務(wù)生在歸還帽子時先歸還了某個顧客的帽子。設(shè)第i個顧客先被歸還帽子的情況數(shù)為A(i),則A(i) = (n-i+1)!/[i!*(n-i)!]。

3.對于每一種歸還順序，計算有多少種情況是服務(wù)生在歸還帽子時先歸還了某個顧客的帽子，并且該顧客拿到了自己的帽子。設(shè)第i個顧客先被歸還帽子且拿到自己的帽子的情況數(shù)為B(i),則B(i) = A(i)[n-i+1]!/[i!(n-i)!]。

4.對于每一種歸還順序，計算拿到自己帽子的期望數(shù)。設(shè)拿到自己帽子的期望數(shù)為E,則E = Σ[B(i)]。

因此，我們只需要計算出A(i)和B(i)即可求解E。具體地，可以使用遞推公式計算A(i):

A(i) = (n-i+1)!/[i!(n-i)!] A(0) = 1 A(i) = A(i-1)(n-i+1)/[i*(n-i)]

同樣地，可以使用遞推公式計算B(i):

B(i) = [n-i+1]!/[i!(n-i)!]A(i)[n-i+1]!/[i!(n-i)!] B(0) = 1 B(i) = B(i-1)[n-i+1]!/[i!(n-i)!]/[n-i+1]!/[i!*(n-i)!]

最后，將所有的B(i)相加即可得到拿到自己帽子的期望數(shù)E:

E = Σ[B(i)] = Σ[B(0)]Σ[B(1)]...Σ[B(n-1)] = [n(n-1)*...21]^(1/n) * [1^(n-1)/(n-1)^(n-1)] * [2^(n-2)/(n-2)^(n-2)] * ... * [(n-1)^(n-1)/(n-1)^(n-1)] = n^(1/n) * (n-1)^(n-2)/(n-2)^(n-2) = n^(1/n) * (n-1)^((n-2)/(n))

華為盤古：

這個問題可以使用指示器隨機變量來解決，即每次顧客歸還帽子時，服務(wù)生會記錄下帽子的序號，然后將帽子分配給下一位顧客。在每次交換帽子時，服務(wù)生會使用指示器隨機地將顧客帽子上的序號與自己的帽子上的序號進行比較，如果相同，則將顧客帽子放入籃子中，如果沒有相同，則隨機地將顧客帽子放在一邊。

在這種情況下，可以使用以下不等式:

$n = (x + μ)/2$

其中，x是顧客帽子的序號，μ是帽子的稀有度。這個不等式表明，顧客歸還帽子的次數(shù)與顧客帽子的序號的平方成正比，即歸還帽子的次數(shù)與顧客帽子的序號的平方成正比。

因此，我們可以計算每個顧客的期望數(shù):

$y = (x + μ)/2$

其中，y是顧客的期望值，也就是他們希望收到帽子的序號。

通過這種方式，我們可以計算每個顧客的期望值，并將它們代入不等式中，以解決帽子核對問題。

360智腦：

假設(shè)有n個顧客,令X為拿到自己帽子的顧客數(shù)量,Y為拿到其他帽子的顧客數(shù)量,則X+Y=n。又因為每個顧客只拿一次帽子,所以X和Y都是獨立同分布的伯努利隨機變量,記其概率質(zhì)量函數(shù)為f(x,y) = (1/2)^(x+y)*exp(-(x+y)/2).

要求期望數(shù),即E(X),則可以將X看作在伯努利試驗中成功的次數(shù),代入上式得到E(X) = E(Y) + E(X|Y=0)(當Y>0時)+E(X|Y=1)(當Y=0時)。由于X和Y是獨立的,因此可以分別計算它們的期望數(shù)并相加,得到E(X) = nP(X=0) + P(X=1)(1-P(X=0))。其中,P(X=0) = n*(1/2)^(n-1),P(X=1) = n*(1/2)^(n-1),且注意到如果某個顧客拿到了他想要的帽子,那么其他人就沒有機會了,因此X和Y的期望值相等。

chatglm：

chatgpt：

設(shè)顧客$i$的帽子編號為$i$，令指示器隨機變量$X_i$表示顧客$i$拿到自己的帽子，則 $$ X_i=\begin{cases} 1, & \text{如果顧客}i\text{拿到了自己的帽子}\ 0, & \text{否則} \end{cases} $$ 令$p_i$表示服務(wù)生將顧客$i$的帽子還給他的概率。由于服務(wù)生將帽子以隨機順序歸還，因此$p_i=\frac{1}{n}$。

根據(jù)期望值的線性性，我們有拿到自己帽子的客戶的期望數(shù)為 \begin{align*} E(\sum_{i=1}^n X_i)&=\sum_{i=1}^n E(X_i)\ &=\sum_{i=1}^n p_i\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 1\ &=\boxed{1} \end{align*}

因此，拿到自己帽子的客戶平均有一個人。