具體筆記見

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在上一篇中我們將一個(gè)平面網(wǎng)映射到了一個(gè)曲面上，然后再曲面上也得到了一個(gè)曲面網(wǎng)，根據(jù)這個(gè)參數(shù)化的曲面網(wǎng)，我們就可以定義一個(gè)點(diǎn)上的切平面【見上一篇內(nèi)容】切平面上的度量就能夠定義出一種度量形式即曲面的第一標(biāo)準(zhǔn)型

曲面的第一基本形式

曲面的第一標(biāo)準(zhǔn)形的意義是可以對(duì)曲面進(jìn)行度量，包括曲面上曲線的弧長，曲面上兩方向的夾角，曲面域的面積等等，它可以使我們能夠測(cè)量曲面上一些量而不必回到曲面所在的外圍空間.

1定義：

存在曲面S,平面D，映射關(guān)系r???,在曲面S上的一點(diǎn)P存在切平面空間，X是在此平面上的一個(gè)向量?，曲面上切向量的表示方法【見上一篇內(nèi)容】(如果不知道是什么意思，提醒一下是r=r(u,v)在u上的偏導(dǎo)。

那么切向量的內(nèi)積?就是曲面的第一基本形式，記為,系數(shù)? 稱為第一基本量，即

在?Manfredo P. do Carmo 的《?Differential Geometry of Curves and Surfaces-Dover Publications (2016)》書中有更清晰的定義，符號(hào)大致不同但是都是是曲線的該點(diǎn)的切向量在切平面上的內(nèi)積：

? 很容易得到，該形式是正定二次型：

2度量

可以通過第一基本形式的參數(shù)構(gòu)成的度量矩陣得到內(nèi)積進(jìn)而推導(dǎo)出弧長、夾角和面積：

3性質(zhì)

性質(zhì)：第一基本形式不變性：在參數(shù)u,v變化下是不變的（很容易理解，面積，夾角，等是不隨著參數(shù)的變化而變化的）

4曲線族和曲線網(wǎng)的微分方程

見賀群老師的第26講

利用微分方程定義一個(gè)曲線族，其表達(dá)了一個(gè)曲線族切向量滿足的關(guān)系式

定義一個(gè)曲線網(wǎng)，可以通過解關(guān)于dudv的二次方程得到x1=du：dv, x2=deta u:deta v這兩組解 ,則就是兩族曲線，得到了一個(gè)曲線網(wǎng)，而且在這個(gè)條件下，兩組曲線不會(huì)相切（兩個(gè)解）我們叫正規(guī)曲線網(wǎng)

當(dāng)出現(xiàn)以下特例時(shí)，得到的是正交曲線網(wǎng)