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本文將分析了幾種用于制定保險(xiǎn)費(fèi)率的平滑技術(shù)。

• 保費(fèi)沒(méi)有細(xì)分

該價(jià)格應(yīng)與純溢價(jià)相關(guān)，而純溢價(jià)與頻率成正比，因?yàn)?/p>

沒(méi)有協(xié)變量，預(yù)期頻率應(yīng)為

Deviance Residuals: ? ?Min ? ? ? 1Q ? Median ? ? ? 3Q ? ? ?Max ? -0.5033 ?-0.3719 ?-0.2588 ?-0.1376 ?13.2700 ? Coefficients: ? ? ? ? ? ?Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) ? ? (Intercept) ?-2.6201 ? ? 0.0228 ?-114.9 ? <2e-16 *** --- Signif. codes: ?0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1) ? ?Null deviance: 12680 ?on 49999 ?degrees of freedom Residual deviance: 12680 ?on 49999 ?degrees of freedom AIC: 16353 Number of Fisher Scoring iterations: 6 > exp(coefficients(regglm0)) (Intercept) 0.07279295

因此，如果我們不想考慮到潛在的異質(zhì)性，通常將其

視為百分比，即概率，因?yàn)?/p>

即

可以解釋為沒(méi)有索賠的可能性。讓我們將其可視化為駕駛員年齡的函數(shù)，

?> plot(a,yp0,type="l",ylim=c(.03,.12)) ? > segments(a[k],yp1[k],a[k],yp2[k],col="red",lwd=3)

我們確實(shí)會(huì)為所有駕駛員預(yù)測(cè)相同的頻率，例如對(duì)于40歲的駕駛員，

> cat("Frequency =",yp0[k]," confidence interval",yp1[k],yp2[k]) Frequency = 0.07279295 ?confidence interval 0.07611196 0.06947393

現(xiàn)在我們考慮一種情況，其中我們嘗試考慮異質(zhì)性，例如按年齡，

• （標(biāo)準(zhǔn)）泊松回歸

在（對(duì)數(shù)）泊松回歸的想法是假設(shè)而不是的

，我們應(yīng)該有

，其中

在這里，讓我們只考慮一個(gè)解釋變量，即

我們有

> plot(a,yp0,type="l",ylim=c(.03,.12)) > abline(v=40,col="grey") > lines(a,yp1,lty=2) > lines(a,yp2,lty=2) > points(a[k],yp0[k],pch=3,lwd=3,col="red") > segments(a[k],yp1[k],a[k],yp2[k],col="red",lwd=3)

對(duì)于我們40歲的駕駛員的年化索賠頻率的預(yù)測(cè)現(xiàn)在為7.74％（比我們之前的7.28％略高）

> cat("Frequency =",yp0[k]," confidence interval",yp1[k],yp2[k]) Frequency = 0.07740574 ?confidence interval 0.08117512 0.07363636

不計(jì)算預(yù)期頻率，而是計(jì)算比率

。

在水平藍(lán)線上方，溢價(jià)將高于未分段的溢價(jià)，而低于此水平。在這里，年齡小于44歲的駕駛員將支付更多的費(fèi)用，而年齡大于44歲的駕駛員將支付較少的費(fèi)用。在引言中，我們討論了分段的必要性。如果我們考慮兩家公司，一個(gè)細(xì)分市場(chǎng)，而另一個(gè)細(xì)分市場(chǎng)持平，那么年長(zhǎng)的司機(jī)將去第一家公司（因?yàn)楸ｋU(xiǎn)更便宜），而年輕的司機(jī)將去第二家公司（同樣，它更便宜）。問(wèn)題在于，第二家公司暗中希望老司機(jī)能彌補(bǔ)這一風(fēng)險(xiǎn)。但是由于它們已經(jīng)不存在了，所以保險(xiǎn)價(jià)格會(huì)太便宜了，公司也會(huì)放寬資金（如果沒(méi)有破產(chǎn)的話）。因此，公司必須使用細(xì)分技術(shù)才能生存?，F(xiàn)在，問(wèn)題在于，我們不能確定溢價(jià)的這種指數(shù)衰減是溢價(jià)隨年齡變化的正確方法。一種替代方法是使用非參數(shù)技術(shù)來(lái)可視化年齡對(duì)索賠頻率的真實(shí)影響。

• 純非參數(shù)模型

第一個(gè)模型可以是考慮每個(gè)年齡的保費(fèi)?？梢钥紤]將駕駛員的年齡作為回歸因素，

> plot(a0,yp0,type="l",ylim=c(.03,.12)) > abline(v=40,col="grey")

在這里，我們40歲司機(jī)的預(yù)測(cè)略低于前一個(gè)，但置信區(qū)間要大得多（因?yàn)槲覀冴P(guān)注的是投資組合中很小的一類(lèi)：年齡恰好在?40?歲的司機(jī)）

Frequency = 0.06686658 ?confidence interval 0.08750205 0.0462311

在這里，我們認(rèn)為類(lèi)別太小，溢價(jià)也太不穩(wěn)定了：溢價(jià)將從40歲到41歲下降20％，然后從41歲到42歲上升50％。

> diff(log(yp0[23:25])) ? ? ? ?24 ? ? ? ? 25 -0.2330241 ?0.5223478

公司沒(méi)有機(jī)會(huì)采用這種策略來(lái)確保被保險(xiǎn)人。保費(fèi)的這種不連續(xù)性是這里的重要問(wèn)題。

• 使用年齡段

另一種選擇是考慮年齡段，從非常年輕的駕駛員到高級(jí)駕駛員。

> summary(regglmc1) Coefficients: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) ? ? (Intercept) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -1.6036 ? ? 0.1741 ?-9.212 ?< 2e-16 *** cut(ageconducteur, level1)(20,25] ? -0.4200 ? ? 0.1948 ?-2.157 ? 0.0310 * ? cut(ageconducteur, level1)(25,30] ? -0.9378 ? ? 0.1903 ?-4.927 8.33e-07 *** cut(ageconducteur, level1)(30,35] ? -1.0030 ? ? 0.1869 ?-5.367 8.02e-08 *** cut(ageconducteur, level1)(35,40] ? -1.0779 ? ? 0.1866 ?-5.776 7.65e-09 *** cut(ageconducteur, level1)(40,45] ? -1.0264 ? ? 0.1858 ?-5.526 3.28e-08 *** cut(ageconducteur, level1)(45,50] ? -0.9978 ? ? 0.1856 ?-5.377 7.58e-08 *** cut(ageconducteur, level1)(50,55] ? -1.0137 ? ? 0.1855 ?-5.464 4.65e-08 *** cut(ageconducteur, level1)(55,60] ? -1.2036 ? ? 0.1939 ?-6.207 5.40e-10 *** cut(ageconducteur, level1)(60,65] ? -1.1411 ? ? 0.2008 ?-5.684 1.31e-08 *** cut(ageconducteur, level1)(65,70] ? -1.2114 ? ? 0.2085 ?-5.811 6.22e-09 *** cut(ageconducteur, level1)(70,75] ? -1.3285 ? ? 0.2210 ?-6.012 1.83e-09 *** cut(ageconducteur, level1)(75,80] ? -0.9814 ? ? 0.2271 ?-4.321 1.55e-05 *** cut(ageconducteur, level1)(80,85] ? -1.4782 ? ? 0.3371 ?-4.385 1.16e-05 *** cut(ageconducteur, level1)(85,90] ? -1.2120 ? ? 0.5294 ?-2.289 ? 0.0221 * ? cut(ageconducteur, level1)(90,95] ? -0.9728 ? ? 1.0150 ?-0.958 ? 0.3379 ? ? cut(ageconducteur, level1)(95,100] -11.4694 ? 144.2817 ?-0.079 ? 0.9366 ? ? --- Signif. codes: ?0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 > lines(a,yp1,lty=2,type="s") > lines(a,yp2,lty=2,type="s")

在這里，我們獲得以下預(yù)測(cè)，

對(duì)于我們40歲的駕駛員來(lái)說(shuō)，現(xiàn)在的頻率為6.84％。

Frequency = 0.0684573 ?confidence interval 0.07766717 0.05924742

我們應(yīng)該考慮其他類(lèi)別，以查看預(yù)測(cè)是否對(duì)值敏感，

對(duì)于我們40歲的司機(jī)來(lái)說(shuō)，得出以下值：

Frequency = 0.07050614 ?confidence interval 0.07980422 0.06120807

所以在這里，我們沒(méi)有消除不連續(xù)性問(wèn)題。這里的一個(gè)想法是考慮移動(dòng)區(qū)域：如果目標(biāo)是預(yù)測(cè)40歲駕駛員的頻率，則應(yīng)該以40為中心。而對(duì)于35歲的駕駛員，間隔應(yīng)該以35為中心。

• 移動(dòng)平均

因此，考慮一些局部回歸是很自然的，只應(yīng)考慮年齡接近?40?歲的駕駛員。這幾乎與帶寬有關(guān)。例如，介于35和45之間的驅(qū)動(dòng)程序可以被認(rèn)為接近40。在實(shí)踐中，我們可以考慮子集函數(shù)，也可以在回歸中使用權(quán)重

> value=40 > h=5

要查看發(fā)生了什么，讓我們考慮一個(gè)動(dòng)畫(huà)，感興趣的年齡在不斷變化，

在這里，對(duì)于我們40歲的人來(lái)說(shuō)，

Frequency = 0.06913391 ?confidence interval 0.07535564 0.06291218

我們獲得了可以解釋為局部回歸的曲線。但是在這里，我們沒(méi)有考慮到35沒(méi)有像39那樣接近40。這里的34假設(shè)與40距離很遠(yuǎn)。顯然，我們可以改進(jìn)該技術(shù)：可以考慮內(nèi)核函數(shù)，即，越接近40，權(quán)重就越大。

> value=40 > h=5

在下面繪制

在這里，我們對(duì)40的預(yù)測(cè)是

Frequency = 0.07040464 ?confidence interval 0.07981521 0.06099408

這就是核回歸技術(shù)的思想。但是，如幻燈片中所述，可以考慮其他非參數(shù)技術(shù)，例如樣條函數(shù)。

• 用樣條平滑

在R中，使用樣條函數(shù)很簡(jiǎn)單（某種程度上比內(nèi)核平滑器簡(jiǎn)單得多）

> library(splines)

現(xiàn)在對(duì)我們40歲司機(jī)的預(yù)測(cè)是

Frequency = 0.06928169 ?confidence interval 0.07397124 0.06459215

請(qǐng)注意，此技術(shù)與另一類(lèi)模型有關(guān)，即所謂的廣義相加模型，即GAM。

該預(yù)測(cè)與我們上面獲得的預(yù)測(cè)非常接近（主要區(qū)別在于非常老的駕駛員）

Frequency = 0.06912683 ?confidence interval 0.07501663 0.06323702

• 不同模型的比較

無(wú)論哪種方式，所有這些模型都是有效的。所以也許我們應(yīng)該比較它們，

在上圖中，我們可以可視化這9個(gè)模型的預(yù)測(cè)上限和下限。水平線是不考慮異質(zhì)性的預(yù)測(cè)值。

?

參考文獻(xiàn)

1.用SPSS估計(jì)HLM層次線性模型模型

2.R語(yǔ)言線性判別分析（LDA），二次判別分析（QDA）和正則判別分析（RDA）

3.基于R語(yǔ)言的lmer混合線性回歸模型

4.R語(yǔ)言Gibbs抽樣的貝葉斯簡(jiǎn)單線性回歸仿真分析

5.在r語(yǔ)言中使用GAM（廣義相加模型）進(jìn)行電力負(fù)荷時(shí)間序列分析

6.使用SAS，Stata，HLM，R，SPSS和Mplus的分層線性模型HLM

7.R語(yǔ)言中的嶺回歸、套索回歸、主成分回歸：線性模型選擇和正則化

8.R語(yǔ)言用線性回歸模型預(yù)測(cè)空氣質(zhì)量臭氧數(shù)據(jù)

9.R語(yǔ)言分層線性模型案例