一、整體

需要對法向量、方向向量；曲面的切平面和法線、過一定點的直線方程等知識有清晰認識

二、需要復習的

1、過一定點，且知其方向向量，去求空間的一條直線方程

2、曲面的切平面和法線（兩個表達方式，一個用zx，一個用F（x））

用zx

用F(x)

三、具體真題

1【新疆大學】

思路：要求兩個平面平行←→兩個平面的法向量平行；

具體做法：

①先記函數F（x,y,z）,求出梯度

②設出曲面在點P0的切平面與平面平行

③因此gradF(P0)=n兩個向量平行

④設k,把x0,y0,z0用k表示，同時把P0代入這個曲面方程，得到P0具體兩個情況；

⑤把Fx,Fy,Fz和x0,y0,z0代入，得到曲面的切平面方程

2【華南理工】

通過此題要記住f在P0處沿n方向的方向導數

fn(P0)=gradf（P0）*n=|gradf(P0)|*|n|*cosθ

具體做法：

第一問：先寫出P0的單位外法向量，且f關于x,y,z有連續(xù)偏導，且gradf=(1,1,1)，然后利用上述的公式fn(P0)=gradf（P0）*n，得到fn(P0)=x0+y0+z0

第二問：設出gradf(P0)和n的夾角θ，θ∈【0，2π）

用上述公式fn(P0)=|gradf(P0)|*|n|*cosθ，可以把cosθ≤1放縮，得到放縮值根號3；等號當且僅當θ=0，gradf(P0)與n在方向上一致，所以設k>0，使得n=k*gradf(P0),于是得到x0=y0=z0=k，得到k=1/根號3（負舍），得到x0=y0=z0，而n=(x0,y0,z0),于是fn(P0)=gradf(P0)?n=根號3

3【華東理工】

核心：將線面平行轉換為線線垂直來求解（一條線是直線的方向向量；另一條線是切平面的法向量）

注意：要把給一個方向向量和一個定點的直線方程的方程會寫??！

具體做法：

1首先記F（x,y,z）

2把gradF(P0)這個梯度求出來，求導的細節(jié)需要特別關注；

3要去證明曲面在任意點P0的切平面與某一定直線平行

→即去說明曲面在該點P0的切平面的法向量與該直線的方向向量d垂直→得到gradF(P0)*d=0；

4、觀察發(fā)現gradF(P0)*(b,c,a)=0，這就說明二者垂直，同時得證曲面在任意點P0的切平面與某一定直線x-0/b=y-0/c=z-0/a平行，注意這里取了一個點（0，0，0）滿足方程的點代入。

4【中國礦業(yè)大學】

思路：先做題可以讓思路清晰

做法：1、利用題干條件，先把切平面的法向量n設出來，這個n與兩個平面的法向量n1,n2分別垂直，于是n*n1=0,n*n2=0，把這個n最后可以只用一個變量k表示

2、記曲面F和切點P0，寫出切平面方程表達式，注意到gradF(P0)=n，然后得到x0,y0,z0可以用k表達出來，再代入到曲面方程中解出k的情況

3、最后分別討論，求出切點以及梯度各個分量，得到切平面的方程，有兩種情況；最后可以寫成一個歸總的形式

5【廈大，2022；中科大】

思路：關鍵在求曲面的切平面方程，題目的兩問分別用兩種切平面的表達式來做；

具體做法：

第一問：①先記G，然后求出gradG;

②把P0這個切點設出來，取法向量n（可以在gradG基礎上改善），得到切平面方程

③?。▁,y,z）=(a,b,c)，代入上述切平面方程，得到等式恒為0；因此切平面經過定點（a,b,c）

第二問：

①先先出曲面的切平面方程（第二種表達方式）：zx(x-x0)+zy(-y0)-(z-z0)=0;

②然后對該式關于x,y分別求偏導，記得化簡；

③注意到題干給出了二階偏導的各種情況，說明了偏導是連續(xù)的，因此，化簡中可以有zxy=zyx；

④比照題干的要求，得出現（zxy）^2,所以讓化簡后的（1）式*zyy,（2）式*zxy，為了讓兩個方程中的后面一項沒有，得到zxx*zyy=(zxy)^2，得證！！