連續(xù)型若干個質(zhì)點運動排布曲線方程的求解(后篇)

2023-07-10 17:41 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過 | 我要投稿

續(xù)前一篇專欄，解決下面的問題：

若一架飛機以速度 $v$ (向右)前行，其連續(xù)不間斷地向地面投擲物資，問t時刻所有物資在空中的排布曲線？

比起前一題，這題更難的地方在于水平方向仍然有位移(由于相繼平拋的物資水平方向也會偏離原位)，因此這題用直角坐標方程就不好表示了，得換用參數(shù)方程。

這里怕讀者不懂就先舉幾個具體的數(shù)字

比如取 $v%3D10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%2Ct_0%3D3%5Cmathrm%7Bs%7D%20$ 進行研究

那么次數(shù)飛機已經(jīng)飛到距離原點 $3%5Cmathrm%7B0m%7D%20$ 的地方了

那么飛機經(jīng)過原點時投放的物資已經(jīng)進行了 $3%5Cmathrm%7Bs%7D%20$ 的平拋運動

那這個物資此刻究竟在哪里呢？其實就是問：投放點為原點，以 $10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D$ 的初速度平拋了 $3%5Cmathrm%7Bs%7D%20$ ，問此刻物資在哪？

那么 $x_%7Bs%3D0%7D%3D10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5Ctimes%203%5Cmathrm%7Bs%7D%20%3D3%5Cmathrm%7B0m%7D%20$

$y_%7Bs%3D0%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ctimes%2010%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5E2%5Ctimes%20(3%5Cmathrm%7Bs%7D%20)%5E2%3D-45%5Cmathrm%7Bm%7D%20$

那如果要求飛機在距離原點 $2%5Cmathrm%7B0m%7D%20$ 的地方投放的物資此刻的位置呢？

我們就關(guān)鍵就需要知道此物資做平拋運動的時間

其等于飛行的時間 $t_0%3D3%5Cmathrm%7Bs%7D%20$ 減去飛機由原點飛到此處所需的時間 $t%3D%5Cfrac%7B20%5Cmathrm%7Bm%7D%20%7D%7B10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%7D%20%3D2%5Cmathrm%7Bs%7D%20$ ,即平拋了 $1%5Cmathrm%7Bs%7D%20$

于是 $x_%7Bs%3D20%5Cmathrm%7Bm%7D%20%7D%3D20m%2B10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5Ctimes%201%5Cmathrm%7Bs%7D%20%3D30%5Cmathrm%7Bm%7D%20$

$y_%7Bs%3D20%5Cmathrm%7Bm%7D%20%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ctimes%2010%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5E2%5Ctimes%20(1%5Cmathrm%7Bs%7D%20)%5E2%3D-5%5Cmathrm%7Bm%7D%20$

以此類推，我們就可以求出飛機所經(jīng)任意位置投放的物資在此刻的位置

取 $t_0$ 時刻研究

以原點為初始位置建軸，到達位移為 $s$ 處所需時間為 $%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20$ ，說明飛機經(jīng)時間 $%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20$ 后才運動到此處，也就意味著該點比原點處的物資滯后 $%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20$ 后才做平拋運動。則此時該點處的物資已經(jīng)做了 $t_0-%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20$ 時間的平拋運動

因此此刻(由位移為 $s$ 處開始投擲)的物體位置橫/縱坐標分別為：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%2Bv%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%7D%7Bv%7D%20)%5C%5C%0Ay%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20g(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%7D%7Bv%7D)%5E2%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ，其中參數(shù) $%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%5Cin%20%5B0%2Cvt_0%20%5D$

算出來x坐標為定值，因此參數(shù)方程描述的是一條豎直的直線

這里參數(shù)是s，表示的是每個(原來與出發(fā)點距離s的)位置，經(jīng)時間 $t_0$ 后的位置。每個s對應(yīng)一個點

ps:desmos解析式如下：

ps:注意第5式中的t是文中的參數(shù)s，由于desmos的參數(shù)只能用t表示所以沒法子了，讀者自行換為s即可

再拓展下，

若飛機以加速度 $a$ 由靜止向右做勻加速直線運動，同時連續(xù)不斷地向地面投放物資，問t時刻所有物資在空中的排布曲線？

道理也是相同的，不過要注意的是算時間時要套勻變速位移的公式了

取 $t_0$ 時刻研究

以原點為初始位置建軸，到達位移為 $s$ 處所需時間為 $%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20$ ，說明飛機經(jīng)時間 $%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20$ 后才運動到此處，也就意味著該點比原點處的物資滯后 $%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20$ 后才做平拋運動。則此時該點處的物資已經(jīng)做了 $t_0-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20$ 時間的平拋運動

因此此刻(由位移為 $s$ 處開始投擲)的物體位置橫/縱坐標分別為：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%2B%5Csqrt%7B2a%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%7D%20%5Ccdot%20(t_0-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%7D%7Ba%7D%20%7D)%20%5C%5C%0Ay%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20g%5B(t_0-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%7D%7Ba%7D%20%7D)%20%5D%5E2%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ，其中參數(shù) $%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%5Cin%20%5B0%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20at_0%5E2%20%5D$

算出來參數(shù)方程是一條傾斜的直線(斜向左下方)

當然，此題也可以用換系來做

以向右勻加速的飛機為參考系，則換系后，投放的物資有豎直向下的重力加速度 $g$ 和水平向左的慣性加速度 $a'$ ,矢量疊加可知此參考系下物資的合加速度方向均為斜向左下方。

而每個物資被投放瞬間與飛機是共速的，因此在此參考系下物資的初速度為0。因此投放的物資相繼沿合加速度(紅色箭頭)方向做勻加速直線運動，則排列曲線為一條傾斜的直線。

再把參考系換回為地面，則整條傾斜的直線隨著飛機一同向右(勻加速)平移。

同理，如果是勻減速，那么排布曲線就是往右下方傾斜的直線，就留給感興趣的讀者推吧[滑稽]

ps:@魯建全做過一個視頻，供參考：

飛機投彈演示（加速運動時）

最后回到最初的這道難題：

已知噴頭以角速度ω逆時針轉(zhuǎn)動，同時連續(xù)不斷向前噴水(初速度大小為v?，方向與水平面夾角為θ)問t時刻水柱在空中排列曲線的方程?

以噴頭為原點建立空間直角坐標系

取 $t_0$ 時刻研究。轉(zhuǎn)過的總角度為 $%5Comega%20t_0$

取其中的 $%5Calpha%20$ 角為例，轉(zhuǎn)過 $%5Calpha%20$ 角所需時間為 $%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20$ ，即此處的水滴比原點的水滴晚 $%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20$ 時間后才做斜拋運動。則該處水滴做斜拋運動的時間為 $t_0-%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20$

先將初速度分解到沿水平面方向 $v_%7B%5Cparallel%20%7D%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20$ 和垂直水平面方向 $v_%7Bz%20%7D%3Dv_0%5Csin%20%5Ctheta%20$

再將水平方向分量分解到x,y方向：

$v_%7Bx%20%7D%3Dv_%7B%5Cparallel%20%7D%5Ccos%20%5Calpha%20%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Ccos%20%5Calpha%20$

$v_%7By%20%7D%3Dv_%7B%5Cparallel%20%7D%5Csin%20%5Calpha%20%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Csin%20%5Calpha%20$

x,y方向做勻速直線運動，z方向做豎直上拋運動，于是有：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20x%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Ccos%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%5Ccdot%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%7D%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20)%5C%5C%0A%20y%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Csin%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%5Ccdot%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%7D%7B%5Comega%20%7D%20)%5C%5C%0Az%3Dv_0%5Csin%20%5Ctheta%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20)-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20g(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%7D%7B%5Comega%20%7D%20)%5E2%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$