#聽課筆記

（01）

?多元函數(shù)：輸入元大于一；

?等高線（以二維輸入，一維輸出的函數(shù)為例）：擁有相同輸出值的原象空間（二維平面）內(nèi)的點可構(gòu)成連續(xù)閉合曲線；

?參數(shù)曲面：一種二維空間內(nèi)的映射（甜甜圈例：R2->R3）；

?向量場：圖示二維平面上的每一點對應(yīng)于一個向量，后者為函數(shù)的輸出值；

?使用變換的觀點，只看輸入空間的點如何變換到輸出空間（沒太明白和線性代數(shù)的關(guān)系，待續(xù)）

（02）

?數(shù)對與空間中的點的關(guān)系

前者每個數(shù)值代表在后者各維度單位長度的伸縮尺度；

數(shù)對與向量一一對應(yīng)，后者圖示為以空間兩點為始末點的有向箭頭；

（03）

?使用三維圖繪制多元函數(shù)

條件是輸入輸出信息總共三維；

?對更高維函數(shù)的可視化方法

（1）等高線圖（輪廓圖）（康托圖）—只看輸入空間；

（2）參數(shù)函數(shù)—只看輸出空間

（3）向量空間—輸入、輸出空間

（04）

?切片法理解多元函數(shù)

固定某一變元為常數(shù)，對于能夠在三維空間中使用圖像可視化的函數(shù)，圖像上得到某一等值面與函數(shù)圖像的相交點集

（5）

?等高線圖：只在輸入空間可視化多維函數(shù)的輸出情況

以函數(shù)R2-R1為例，函數(shù)圖像可在三維直角坐標(biāo)系中表現(xiàn)為曲面，在輸出空間的維度上等間隔固定值，得到的自變量之間的函數(shù)關(guān)系的圖像集稱為等高線圖。

將等高線圖（康托圖）/輪廓線映射到輸入空間的兩個維度構(gòu)成的平面，此時圖像疏密，體現(xiàn)了因變量相對自變量的敏感度（空間的陡峭度）

（問：連續(xù)性如何在這種方法下描述？）

（6）

?更多函數(shù)的可視化

【參數(shù)函數(shù)】

參數(shù)與輸入值，對于函數(shù)等效；

參數(shù)化曲線，以輸出位二維向量空間的一元函數(shù)為例，參數(shù)化即分別求出兩輸出維度的值關(guān)于輸入值的函數(shù)關(guān)系，這等效于原來的函數(shù)關(guān)系式（注：函數(shù)不止一種參數(shù)化的方法）

（7）

上接（6），推廣到對曲面進(jìn)行參數(shù)化，例如二元映射R2-R3(使用矩陣表示法)

甜甜圈為例，三維輸出空間中固定一元，得圓環(huán)構(gòu)形，而變動另一元則旋轉(zhuǎn)得到甜甜圈模型

（接下來的問題是：參數(shù)化的過程中如何構(gòu)造曲面函數(shù)）

（8）

?向量場

例如：二維向量空間到另一個二維向量空間的映射如何表述？

在輸入空間內(nèi)，同樣以二維向量描述映射關(guān)系，圖像化為直觀呈現(xiàn)，用色譜與向量模一一對應(yīng)，如上述所言的圖示可以是一個流體流動的向量場模型

（9）

?使用向量場對流體建模

以二維為例：為二維輸入空間內(nèi)每一個點分配一個向量

【簡要延伸散度與旋度的概念】向量場中點沿切向/法向的運(yùn)動與疏密分布性質(zhì)

（10）

?上接（9），對向量場的可視化拓展至三維情形