微積分（八十四）——共形映射（上）

2023-06-15 00:00 作者:Mark-McCutcheon 0人讀過(guò) | 我要投稿

為了研究解析函數(shù)究竟特殊在何處，我們需要將其與之前的內(nèi)容——場(chǎng)，建立聯(lián)系。

由前一節(jié)我們知道當(dāng)函數(shù) $f(z)$ 可導(dǎo)，則有

$%5C%5Cdf(z)%3Df'(z)dz$

我們現(xiàn)在考慮復(fù)平面上的點(diǎn) $z$ 及其增量 $%5CDelta%20z$ ：

我們知道 $f'(z)$ 是一個(gè)復(fù)數(shù)，因此因變量的增量就等于這個(gè)復(fù)數(shù)乘以自變量的增量（根據(jù)上面的式子），也就是說(shuō)，當(dāng)自變量一定時(shí)，只要增量足夠小，就可以認(rèn)為因變量增量的輻角始終比自變量增量的輻角多一個(gè)常量（即導(dǎo)數(shù)值的輻角），因變量增量的模長(zhǎng)始終等于自變量增量的模長(zhǎng)乘以一個(gè)常數(shù)（即導(dǎo)數(shù)值的模）。

劃重點(diǎn)：首先把函數(shù)看成一個(gè)變換，即因變量是自變量經(jīng)函數(shù)變換后的像，因變量的增量是自變量增量變化后的結(jié)果?，F(xiàn)在我們把自變量的某個(gè)小鄰域內(nèi)的點(diǎn)都看成自變量作增量后的結(jié)果，則對(duì)于兩個(gè)不同的點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的增量之間有一個(gè)夾角，在經(jīng)過(guò)函數(shù)的變換后，兩增量的輻角都加上了一個(gè)常量，這意味著它們之間的夾角是不變的，整個(gè)鄰域被旋轉(zhuǎn)了相同的角度。而由于所有增量的模長(zhǎng)均乘以了一個(gè)常量，故這個(gè)鄰域可以被看作是均勻地被放大了。因此，我們認(rèn)為復(fù)變函數(shù)對(duì)某一小塊區(qū)域產(chǎn)生的的作用是：伸縮加旋轉(zhuǎn)。

在這種作用下，一個(gè)足夠小的圓形在經(jīng)過(guò)復(fù)變函數(shù)作用后，它看起來(lái)應(yīng)該還是一個(gè)圓形。而一個(gè)足夠小的三角形經(jīng)作用后，由于三邊旋轉(zhuǎn)了一樣的角度，并且三邊伸縮程度一致，因此它看起來(lái)仍然是同一個(gè)三角形（相似）。這告訴我們復(fù)變函數(shù)產(chǎn)生的變換具有某種形狀不變性，我們稱(chēng)這樣的映射為共形映射。

為了進(jìn)一步闡明共形性，我們作如下推導(dǎo)：

將解析函數(shù)看作場(chǎng)處理。設(shè)有函數(shù)

$%5C%5Cf(z)%3Du(x%2Cy)%2Bv(x%2Cy)i$

令其在 $z%3Dx%2Biy$ 可微，令增量 $%5CDelta%20z%3D%5CDelta%20x%2Bi%5CDelta%20y$ ，因變量對(duì)應(yīng)增量為 $%5CDelta%20u%2Bi%5CDelta%20v$ ，于是

$f'(z)%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20z%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20f(z)%7D%7B%5CDelta%20z%7D%20%5C%5C%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%5C%5C%5CDelta%20y%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20u%2Bi%5CDelta%20v%7D%7B%5CDelta%20x%2Bi%5CDelta%20y%7D%20%20%5C%5C$

現(xiàn)在我們只考慮從兩坐標(biāo)軸的方向進(jìn)行逼近。首先設(shè) $%5CDelta%20y%3D0$ ，則

$%5C%5Cf'(z)%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20u%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%2Bi%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20v%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20$

由于函數(shù)可微，因此上式實(shí)虛部必都存在，即

$%5C%5Cf'(z)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2Bi%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20$

同理從另一個(gè)方向趨近可以得到：

$%5C%5Cf'(z)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20-i%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20$

比較上述兩式得：

$%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20$

上式成為Cauchy-Riemann方程，簡(jiǎn)稱(chēng)C-R方程。由上述推導(dǎo)可知它是復(fù)變函數(shù)可微的必要條件。

又根據(jù)之前的內(nèi)容，我們有Jacobi矩陣描述空間任一點(diǎn)附近的的變化情況。如果我們假設(shè) $u$ 和 $v$ 均可微的話，我們就可以把它利用進(jìn)這個(gè)情形里：

$%5C%5C%5Cbegin%7Bbmatrix%7Du_x%26u_y%5C%5Cv_x%26v_y%5C%5C%20%5Cend%7Bbmatrix%7D$

那么根據(jù)前面的推導(dǎo)結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)矩陣就是在描述伸縮加旋轉(zhuǎn)的變換。這與我們之前的推到結(jié)果相符。

解析函數(shù)可以看作具有共形性的特殊的場(chǎng)，這部分導(dǎo)致了它在函數(shù)研究中的重要地位以及讀者接下來(lái)會(huì)看到的其所具有的優(yōu)美的性質(zhì)。

解析函數(shù)及其共形性不光在數(shù)學(xué)中占有無(wú)可取代的地位，在其他學(xué)科的研究中也有無(wú)比重要的應(yīng)用。例如，俄羅斯航空學(xué)之父茹科夫斯基（Жуков ский）作為世界上研究現(xiàn)代空氣動(dòng)力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)的先驅(qū)，發(fā)明了茹科夫斯基函數(shù)（又稱(chēng)機(jī)翼變換）應(yīng)用于飛機(jī)翼型的研究中，這個(gè)映射將圓映射為機(jī)翼形，而其逆映射又能將其映射回圓。這將十分復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題處理，對(duì)航空學(xué)發(fā)展有著不可磨滅的作用。