牛頓297、柯西的敘述中存在描述性詞語(yǔ)：無(wú)限趨近；要多小就多小

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極限（微積分概念）（百度百科）：…

…極、限、極限：見(jiàn)《歐幾里得218~296》…

（…《歐幾里得》：小說(shuō)名…）

…概、念、概念：見(jiàn)《歐幾里得22、23》…

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首先用極限概念給出“導(dǎo)數(shù)”的正確定義的是捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾（1781.10.5—1848.12.18），他把函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)定義為差商△y/△x的極限f'（x），他強(qiáng)調(diào)指出f'（x）不是兩個(gè)0的商。

…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見(jiàn)《牛頓288~294》…

…正、確、正確：見(jiàn)《歐幾里得13》…

…定、義、定義：見(jiàn)《歐幾里得28》…

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見(jiàn)《歐幾里得49》…
…家：見(jiàn)《歐幾里得92》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得52》…

[△（希臘字母）：希臘字母中的一個(gè)大寫字母，其小寫形式為δ。

△的讀音是“德?tīng)査?。音?biāo)中為/delt?/。

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△（物理學(xué)用語(yǔ)）2：△是一個(gè)物理學(xué)用語(yǔ)。

在物理學(xué)中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時(shí)間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等。

又如：在物理學(xué)的熱學(xué)中，物體在吸熱或者放熱時(shí)吸收或放出的熱量的計(jì)算公式為Q=cm△T（c表示物質(zhì)的比熱容，m表示物質(zhì)的質(zhì)量，△T表示溫度的變化，即溫度變化量的絕對(duì)值:△T=|T1-T0|）…

——《牛頓8》]

波爾查諾的思想是有價(jià)值的，但關(guān)于“極限的本質(zhì)”他仍未描述清楚。

…思、想、思想：見(jiàn)《歐幾里得154》…
…本、質(zhì)、本質(zhì)：見(jiàn)《歐幾里得22》…
…描、述、描述：見(jiàn)《伽利略34》…

（…《伽利略》：小說(shuō)名…）

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到了19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了“極限概念”及其理論，他在《分析教程》中指出：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值。

…柯西：見(jiàn)《牛頓266》…

…基、礎(chǔ)、基礎(chǔ)：見(jiàn)《歐幾里得37》…

…闡、述、闡述：見(jiàn)《歐幾里得153》…

…理、論、理論：見(jiàn)《歐幾里得5》…

…分、析、分析：見(jiàn)《歐幾里得36》…

…變、量、變量：見(jiàn)《歐幾里得29》…

…無(wú)、限、無(wú)限：見(jiàn)《牛頓202》…

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特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無(wú)限地減小使之收斂（liǎn）到極限0，就說(shuō)這個(gè)變量成為無(wú)窮小?！?/p>

…收、斂、收斂：見(jiàn)《牛頓215》…

…無(wú)、窮、無(wú)窮，小，無(wú)窮小：見(jiàn)《牛頓280》…

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柯西把無(wú)窮小視為“以0為極限的變量”，這就正確地確立了“無(wú)窮小”概念為“似0不是0，卻可以‘人為用等于0處理’的辦法”，這就是說(shuō)，在變量的變化過(guò)程中，它的值實(shí)際上不等于0，但它變化的趨向是向“0”，可以無(wú)限地接近0。那么人們就可以用“等于0”來(lái)處理，是不會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果的。

…變、化、變化：見(jiàn)《伽利略10》…

…過(guò)、程、過(guò)程：見(jiàn)《歐幾里得194》…

…錯(cuò)、誤、錯(cuò)誤：見(jiàn)《歐幾里得193》…

…結(jié)、果、結(jié)果：見(jiàn)《牛頓105》…

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柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，（但是“幾何直觀”不是消極的東西，我們研究函數(shù)時(shí)也可以發(fā)揮想像力——“動(dòng)態(tài)趨勢(shì)的變量圖像，假設(shè)被放大到巨大的天文倍數(shù)以后，我們也會(huì)永遠(yuǎn)不能看到變量值‘重合于0’”，所以用不等式表示會(huì)更加“明確”）作出極限的明確定義，然后去完成牛頓的愿望。

…幾、何、幾何：見(jiàn)《歐幾里得28》…

…直觀：見(jiàn)《牛頓220》…

…研、究、研究：見(jiàn)《歐幾里得42》…

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但柯西的敘述中還存在描述性詞語(yǔ)，如“無(wú)限趨近”、“要多小就多小”。

…描、述、描述：見(jiàn)《伽利略34》…

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動(dòng)詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見(jiàn)《歐幾里得10》…

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比較通俗易懂的描述，對(duì)于概念的理解比較容易，因此其定義還保留著幾何和物理的直觀痕跡。

…理、解、理解：見(jiàn)《歐幾里得58》…

…物、理、物理：見(jiàn)《歐幾里得139》…

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一分為二，直觀痕跡比較多也有好處，但是結(jié)合下面的抽象定義可更加容易理解“極限”概念。

…下面的抽象定義：見(jiàn)下集…

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“為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)的抽象定義，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。所謂xn→x，就是指：“如果對(duì)任何ε>0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式|xn-x|<ε恒成立”。

這個(gè)定義，借助不等式，通過(guò)ε和N之間的關(guān)系，定量地、具體地刻劃了兩個(gè)“無(wú)限過(guò)程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義應(yīng)該是目前比較嚴(yán)格的定義，可作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍在數(shù)學(xué)分析書籍中使用。

請(qǐng)看下集《牛頓298、“靜態(tài)——動(dòng)態(tài)——靜態(tài)”螺旋式上升演變，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律》”

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