今天從論文中看到一個(gè)multivariate regression (MLR) 多元線性回歸的方法，在地下水影響因素中做了MLR

什么是多元線性回歸 （MLR）？

多元線性回歸 （MLR），也稱為多元回歸，是一種使用多個(gè)解釋變量來預(yù)測(cè)響應(yīng)變量結(jié)果的統(tǒng)計(jì)技術(shù)。多元線性回歸的目標(biāo)是對(duì)解釋（自變量）變量和響應(yīng)（因）變量之間的線性關(guān)系進(jìn)行建模。從本質(zhì)上講，多元回歸是普通最小二乘 （OLS）?回歸的擴(kuò)展，因?yàn)樗婕岸鄠€(gè)解釋變量。

多元線性回歸的公式和計(jì)算

多元線性回歸告訴了我們什么?

簡(jiǎn)單線性回歸是一種函數(shù)，它允許分析師或統(tǒng)計(jì)學(xué)家根據(jù)有關(guān)另一個(gè)變量的已知信息對(duì)一個(gè)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)。線性回歸僅在具有兩個(gè)連續(xù)變量（自變量和因變量）時(shí)使用。自變量是用于計(jì)算因變量或結(jié)果的參數(shù)。多元回歸模型擴(kuò)展到多個(gè)解釋變量。

多元回歸模型基于以下假設(shè)：

• 因變量和自變量之間存在線性關(guān)系

• 自變量之間的相關(guān)性不太高

• yi觀測(cè)值是從總體中獨(dú)立隨機(jī)選擇的

• 殘差應(yīng)呈正態(tài)分布，均值為 0，方差σ

決定系數(shù)（R 平方）是一個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，用于衡量結(jié)果變異中有多少可以用自變量的變異來解釋。R2總是隨著向 MLR 模型添加的預(yù)測(cè)變量越多而增加，即使預(yù)測(cè)變量可能與結(jié)果變量無關(guān)。

因此，R2本身不能用于識(shí)別哪些預(yù)測(cè)變量應(yīng)包含在模型中，哪些預(yù)測(cè)變量應(yīng)被排除。R2只能介于 0 和 1 之間，其中 0 表示任何自變量都無法預(yù)測(cè)結(jié)果，1 表示可以在沒有自變量誤差的情況下預(yù)測(cè)結(jié)果。

在解釋多元回歸的結(jié)果時(shí)，β系數(shù)在保持所有其他變量不變的情況下是有效的（“所有其他條件都相等”）。多元回歸的輸出可以水平顯示為方程，也可以垂直顯示為表格形式。

如何使用多元線性回歸的示例

例如，分析師可能想知道市場(chǎng)走勢(shì)如何影響（XOM）的價(jià)格。在這種情況下，他們的線性方程將以標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的值作為自變量或預(yù)測(cè)因子，將XOM的價(jià)格作為因變量。

實(shí)際上，多個(gè)因素預(yù)測(cè)事件的結(jié)果。例如，一個(gè)物品的價(jià)格走勢(shì)不僅僅取決于整個(gè)市場(chǎng)的表現(xiàn)。其他預(yù)測(cè)因素，如石油價(jià)格、利率和石油期貨的價(jià)格走勢(shì)，可能會(huì)影響 XOM 的價(jià)格和其他石油公司的股價(jià)。為了理解存在兩個(gè)以上變量的關(guān)系，使用了多元線性回歸。

多元線性回歸 （MLR） 用于確定多個(gè)隨機(jī)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。換句話說，MLR 檢查多個(gè)自變量如何與一個(gè)因變量相關(guān)。一旦確定每個(gè)自因子來預(yù)測(cè)因變量，就可以使用有關(guān)多個(gè)變量的信息來創(chuàng)建對(duì)它們對(duì)結(jié)果變量的影響水平的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。該模型以直線（線性）的形式創(chuàng)建關(guān)系，該關(guān)系最接近所有單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

參考上面的 MLR 方程，在我們的示例中：

• yi =?因變量 - XOM 的價(jià)格

• xi1= 利率

• xi2= 油價(jià)

• xi3= 標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的價(jià)值

• xi4= 石油期貨價(jià)格

• B0= 時(shí)間零處的 y 截距

• B1=回歸系數(shù)，用于測(cè)量 xi1變化時(shí)因變量的單位變化 - 利率變化時(shí) XOM 價(jià)格的變化

• B2= 系數(shù)值，用于測(cè)量 xi2變化時(shí)因變量的單位變化 - 油價(jià)變化時(shí) XOM 價(jià)格的變化

最小二乘估計(jì) - B0、B1、B2...Bp—通常由統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算?；貧w模型中可以包含盡可能多的變量，其中每個(gè)自變量都用一個(gè)數(shù)字 - 1，2，3，4...p進(jìn)行區(qū)分。多元回歸模型允許分析人員根據(jù)提供的多個(gè)解釋變量的信息預(yù)測(cè)結(jié)果。

盡管如此，該模型并不總是完全準(zhǔn)確的，因?yàn)槊總€(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)可能與模型預(yù)測(cè)的結(jié)果略有不同。殘值E是實(shí)際結(jié)果和預(yù)測(cè)結(jié)果之間的差值，包含在模型中以解釋這種細(xì)微變化。

假設(shè)我們通過統(tǒng)計(jì)計(jì)算軟件運(yùn)行 XOM 價(jià)格回歸模型，返回以下輸出：

分析師將這一產(chǎn)出解釋為，如果其他變量保持不變，如果市場(chǎng)上的石油價(jià)格上漲 1%，XOM 的價(jià)格將上漲 7.8%。該模型還顯示，在利率上升1%之后，XOM的價(jià)格將下降1.5%。R2表示，?？松梨诠蓛r(jià)變動(dòng)的86.5%可以用利率、油價(jià)、石油期貨和標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的變化來解釋。

線性回歸和多元回歸的區(qū)別

普通線性平方?（OLS） 回歸比較因變量在某些解釋變量發(fā)生變化的情況下的響應(yīng)。但是，因變量很少只能用一個(gè)變量來解釋。在這種情況下，分析師使用多元回歸，嘗試使用多個(gè)自變量來解釋因變量。多元回歸可以是線性的，也可以是非線性的。

多元回歸基于因變量和自變量之間存在線性關(guān)系的假設(shè)。它還假設(shè)自變量之間沒有主要相關(guān)性。

是什么使多元回歸倍數(shù)？

多元回歸考慮多個(gè)解釋變量對(duì)某些感興趣的結(jié)果的影響。它評(píng)估當(dāng)模型中的所有其他變量保持常量時(shí)，這些解釋變量或自變量對(duì)因變量的相對(duì)影響。

為什么使用多元回歸而不是簡(jiǎn)單的 OLS 回歸？

因變量很少只用一個(gè)變量來解釋。在這種情況下，分析師使用多元回歸，嘗試使用多個(gè)自變量來解釋因變量。但是，該模型假設(shè)自變量之間沒有主要相關(guān)性。

我可以手動(dòng)進(jìn)行多元回歸嗎？

這不太可能，因?yàn)槎嘣貧w模型很復(fù)雜，當(dāng)模型中包含更多變量或要分析的數(shù)據(jù)量增加時(shí)，多元回歸模型會(huì)變得更加復(fù)雜。要運(yùn)行多元回歸，您可能需要在 Excel 等程序中使用專門的統(tǒng)計(jì)軟件或函數(shù)。

多元回歸是線性的是什么意思？

在多元線性回歸中，模型計(jì)算最佳擬合線，以最小化所包含的每個(gè)變量的方差，因?yàn)樗c因變量相關(guān)。因?yàn)樗m合一條線，所以它是一個(gè)線性模型。還有涉及多個(gè)變量的非線性回歸模型，例如邏輯回歸、二次回歸和概率模型。

多元回歸模型如何在金融中使用？

任何查看多個(gè)變量的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型都可能是多個(gè)變量。因子模型比較兩個(gè)或多個(gè)因子，以分析變量與結(jié)果性能之間的關(guān)系。Fama 和 French Three-Factor Mod就是這樣一個(gè)模型，它通過在 CAPM 中的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因素中添加規(guī)模風(fēng)險(xiǎn)和價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)因素（它本身就是一個(gè)回歸模型）來擴(kuò)展資本資產(chǎn)定價(jià)模型?（CAPM）。通過包括這兩個(gè)額外的因素，該模型針對(duì)這種表現(xiàn)優(yōu)異的趨勢(shì)進(jìn)行了調(diào)整，這被認(rèn)為使其成為評(píng)估經(jīng)理績(jī)效的更好工具。

總說，個(gè)人理解就是建立一個(gè)多元函數(shù)！