在中學(xué)時(shí)候，我們學(xué)習(xí)過冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，比如y=x2，y=2?，都是大家比較熟悉的。

可是，你知道?y=x?圖像長什么樣嗎？

這并不是一個(gè)簡單的問題，我們需要使用復(fù)數(shù)對“乘方”的概念進(jìn)行拓展。這可能會有點(diǎn)難，但是如果你能花點(diǎn)時(shí)間看完這篇文章，并且稍作思考，那你一定能被數(shù)學(xué)之美所折服。

01??實(shí)數(shù)乘方的含義

我們先來討論一下：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，乘方的含義：

在底數(shù)c大于0的時(shí)候，乘方一定有意義，例如：

按照這樣的方法，計(jì)算y=x?在x>0的范圍內(nèi)是很容易的，利用軟件可以畫出：

如果底數(shù)c小于0，有時(shí)c?依然有意義，例如：

但也有時(shí)候，c?在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義，例如：

因?yàn)樨?fù)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能開平方，所以這個(gè)乘方就沒有意義。中學(xué)時(shí)候老師教給我們一個(gè)判斷方法：負(fù)數(shù)不能開偶次方根。

可是，利用這個(gè)規(guī)則我們依然不能判斷所有的情況，比如

π是一個(gè)無理數(shù)，根本不能寫成兩個(gè)整數(shù)的比，所以也不知道它到底是在開奇數(shù)次方根，還是在開偶次方根，我們甚至不知道它在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有沒有意義。

使用中學(xué)階段的乘方知識，我們就只能理解到這里了，所以沒辦法畫出y=x?在x<0時(shí)的圖像。要繼續(xù)深入下去，必須先來了解一下復(fù)數(shù)的各種形式。

02??復(fù)數(shù)的三角形式

我們知道：一個(gè)復(fù)數(shù)a+bi對應(yīng)了復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)：

如果我們把這個(gè)點(diǎn)和原點(diǎn)連起來，形成一個(gè)向量，那么向量的長度ρ叫做復(fù)數(shù)的模，向量與實(shí)軸正半軸的夾角θ叫做輻角。這樣，復(fù)數(shù)還可以寫成這樣的形式：

其中

這叫做復(fù)數(shù)的三角形式。

緊跟著，我們又要引用一個(gè)數(shù)學(xué)上的重要公式——?dú)W拉公式，它告訴我們：對于自然對數(shù)的底e，虛數(shù)單位i和一個(gè)實(shí)數(shù)θ，有關(guān)系：

所以，剛才的復(fù)數(shù)又可以表示成

這就是復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。

大家注意：θ角具有周期性，因?yàn)橐粋€(gè)向量每轉(zhuǎn)動360度，方向都是相同的。所以向量的輻角有無窮多個(gè)，彼此相差2π。比如

為了方便起見，有時(shí)候我們會省略2kπ，把1+i的輻角說成π/4，實(shí)際上這只是無窮多個(gè)輻角之一，稱為主輻角。但在我們后面討論的問題中，必須考慮所有的輻角，這是問題的關(guān)鍵。

利用指數(shù)形式，計(jì)算復(fù)數(shù)的乘方會非常容易，規(guī)則是：

舉個(gè)例子：要計(jì)算1+i的三次方，我們可以使用下面的方法：

利用指數(shù)形式

在復(fù)平面上畫出這個(gè)向量，注意：無論k取什么整數(shù)，向量的方向都是固定的，與實(shí)軸正方向夾角為135度。顯然，這個(gè)結(jié)果等于-2+2i。

03??乘方概念的拓展

利用復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，我們可以對乘方的概念進(jìn)行拓展。注意：拓展之后的乘方概念，將會變成一個(gè)多值函數(shù)。即計(jì)算一個(gè)乘方，會有好幾個(gè)甚至無窮多個(gè)答案。

這其實(shí)不難理解，比如“4的平方根”就是一個(gè)多值函數(shù)，結(jié)果是2和-2，其中2叫做算術(shù)平方根。

我們首先對正數(shù)的乘方進(jìn)行拓展，即

雖然c是一個(gè)實(shí)數(shù)，但是我們依然可以把它看作是虛部為零的復(fù)數(shù)，那么它的模就等于c，而輻角就是0，2π，4π，…

然后，我們利用復(fù)數(shù)乘方法則，得到：

在k取不同值的時(shí)候，c?就會產(chǎn)生不同的結(jié)果，這些結(jié)果有些是實(shí)數(shù)，有些不是實(shí)數(shù)。

舉個(gè)例子：計(jì)算2的1/3次方。

這個(gè)結(jié)果的模都是三次根號2，但是在k取不同整數(shù)時(shí)，輻角并不相同。

在復(fù)平面上畫出這三個(gè)點(diǎn)，你會發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)中一個(gè)是實(shí)數(shù)，另外兩個(gè)是非實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)，當(dāng)k繼續(xù)取4、5、6…等值的時(shí)候，結(jié)果會重復(fù)落在這三個(gè)點(diǎn)上。

那么，c<0時(shí)情況又如何呢？我們來對負(fù)數(shù)的乘方進(jìn)行拓展，即

負(fù)數(shù)c的模等于-c，而輻角就是π，3π，5π，…

我們利用復(fù)數(shù)乘方法則，得到：

同樣，在k取不同值的時(shí)候，c?就會產(chǎn)生不同的結(jié)果，這些結(jié)果有些是實(shí)數(shù)，有些不是實(shí)數(shù)。

舉個(gè)例子：計(jì)算-2的1/3次方。

結(jié)果的模是三次根號2，但是在k取不同整數(shù)時(shí)，輻角并不相同。

在復(fù)平面上畫出這三個(gè)點(diǎn)，你會發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)（k=1）是實(shí)數(shù)，另外兩個(gè)是非實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)。

甚至有時(shí)候，復(fù)數(shù)的乘方結(jié)果都不是實(shí)數(shù)，例如按照剛才的方法計(jì)算(-2)^(1/4)，你會發(fā)現(xiàn)它的結(jié)果是

畫在復(fù)平面上，會發(fā)現(xiàn)一共有4各結(jié)果，而且全都不是實(shí)數(shù)。這就是為什么復(fù)數(shù)的偶次方根在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義。

那么，能不能總結(jié)一下，什么時(shí)候乘方在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？什么時(shí)候沒意義？

其實(shí)，進(jìn)行了復(fù)數(shù)拓展后，正數(shù)和負(fù)數(shù)的區(qū)別只在于主輻角不同，正數(shù)的主輻角是0，而負(fù)數(shù)是π，這樣按照復(fù)數(shù)的乘方規(guī)則，我們有：

其中

對于正數(shù)c而言，c?的輻角是2kπx，只要k=0，無論x取多少，輻角都一定是0，對應(yīng)一個(gè)正實(shí)數(shù)。所以，正數(shù)的任何實(shí)數(shù)次方在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義。

但對于負(fù)數(shù)c而言，c?的輻角是(2kπ+π)x，除非這個(gè)結(jié)果是π的整數(shù)倍，才能獲得實(shí)數(shù)。因此，負(fù)數(shù)的乘方不能獲得實(shí)數(shù)，除非滿足(2k+1)x是整數(shù)。用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫成：

這時(shí)，我們就可以對x進(jìn)行討論了。

1. 如果x是一個(gè)無理數(shù)：無論k取哪個(gè)整數(shù)，(2k+1)x都不可能是有理數(shù)，自然也不會等于整數(shù)了，因此c?不是實(shí)數(shù)。

2. 如果x是一個(gè)有理數(shù)，那么可以把x寫作：

于是有：

它是否能成為整數(shù)？我們又要分兩種情況：

• 若q為偶數(shù)：因?yàn)?k+1是奇數(shù)，若q是偶數(shù)，那么2k+1和q不可能完全約分，因此(2k+1)x不可能是整數(shù)，c?不是實(shí)數(shù)。這就是以前說的：負(fù)數(shù)不能開偶次方根。

  ?

• 若q為奇數(shù)：因?yàn)?k+1是奇數(shù)，只要2k+1=q，3q，5q…等值，就能把q完全約分掉，所以(2k+1)x完全可以是整數(shù)，c?是實(shí)數(shù)。這就是為什么負(fù)數(shù)可以開奇次方根。

  ?

總結(jié)成一句話：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任意次方都有意義，負(fù)數(shù)的乘方要有意義，除非指數(shù)是有理數(shù)，且寫成最簡分?jǐn)?shù)時(shí)，分母是奇數(shù)。

04??函數(shù)圖像

利用剛才討論的結(jié)果，我們來一起研究一些有趣的函數(shù)圖像吧。

首先，我們來討論一個(gè)簡的函數(shù)：y=(-1)?，按照剛才的討論，我們有：

它的模是1，輻角會發(fā)生變化。而且，當(dāng)k取0、1、2…時(shí)，輻角隨x的變化速度不一樣，你可以通過一張動圖觀察在k不同時(shí)，輻角隨x的變化情況：

我們還可以畫得漂亮些：在三維空間中取三個(gè)坐標(biāo)軸，描繪出c?的實(shí)部（向左的軸）、虛部（向上的軸）隨著x（向右的軸）的變化情況，你會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k取不同值時(shí)，c?的取值構(gòu)成了一系列的螺旋：

什么時(shí)候(-1)?能獲得實(shí)數(shù)呢？只需要把這些螺旋和實(shí)平面相交，交點(diǎn)就是實(shí)數(shù)。實(shí)際上，這些點(diǎn)并不是連續(xù)的，根據(jù)我們剛才的討論，此時(shí)的x必須是有理數(shù)，并且當(dāng)x寫成最簡分?jǐn)?shù)時(shí)，分母一定是奇數(shù)，例如x=1/3，2/5，3/7等。

講了這么多，終于可以講講最初的問題了：y=x?函數(shù)圖像到底長啥樣？

根據(jù)之前的討論，我們令ρ=|x|，則：

首先討論結(jié)果的模，利用軟件很容易算出函數(shù)值的模的變化規(guī)律，它在x=1/e和-1/e的位置，取到兩個(gè)極值點(diǎn)：

然后我們研究函數(shù)的輻角：當(dāng)k分別取0、1、2、3…時(shí)，函數(shù)值都螺旋線（除了x>0且k=0時(shí)，函數(shù)會是一條連續(xù)的平面曲線外），這無數(shù)條螺旋線組合在一起，圖像有點(diǎn)像一個(gè)寶葫蘆。

讓這個(gè)寶葫蘆和實(shí)平面相交，就會得到函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的圖像：它在第一象限中是一條實(shí)線，在其他三個(gè)象限都是虛線。

我們來具體解釋一下。我們已經(jīng)知道：如果函數(shù)值是實(shí)數(shù)，那么它的輻角必須是π的整數(shù)倍，而且，如果輻角是π的偶數(shù)倍，函數(shù)值就是正實(shí)數(shù)；如果輻角是π的奇數(shù)倍，函數(shù)值就是負(fù)實(shí)數(shù)。

1. 在x>0時(shí)，x?的輻角是2kπx。

• ?若k=0，無論x取何實(shí)，輻角都是0，此時(shí)x?是一個(gè)正的實(shí)數(shù)，對應(yīng)第一象限里連續(xù)的線；

• 若k≠0，如果2kx是一個(gè)奇數(shù)，那么x?是一個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)，對應(yīng)著第四象限的斷續(xù)的線。

2. 在x<0時(shí)，x?的輻角是(2kπ+π)x。

• ?若(2k+1)x是偶數(shù)，那么x?是一個(gè)正的實(shí)數(shù)，對應(yīng)第二象限的斷續(xù)線；

• 若(2k+1)x是奇數(shù)，那么x?是一個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)，對應(yīng)第三象限的斷續(xù)線。
  

這就是y=x?這個(gè)奇怪的函數(shù)圖像了，

你感受到數(shù)學(xué)之美了嗎？