《高等代數》/《線性代數》期末復習不掛科以及筆記分享（2）：第七章線性變換
????因為這一章特別重要，所以我寫稿寫了特別久，也準備了不少的解釋，怎么把這個東西給大家解釋清楚，讓大家更好理解，但是例子是真的不好舉了，確實不太直觀，所以大家盡量看我標注的重點去理解就好！
????這一節(jié)一句話就可以解釋掉，線性變換的定義其實就是
線性變換：在線性空間里做的一個對于向量的變換，滿足加法和數乘
????這個變換其實跟一般的數具有的性質非常相似，我們新定義了一個東西，那在數學（環(huán)）里就是要研究它的加減乘逆，很自然就要研究它們的加減乘逆是不是線性變換，而結果是顯然的。
????我們確實定義了一個在線性空間上滿足加法和數乘的線性變換，美其名曰對于向量的一個變換，但是很抽象啊，怎么刻畫呢？那這個時候就要通過基來操作了：
????線性變換的核心定義在于其可以通過一個矩陣和一個基一一對應，稱為線性變換在這個基下的矩陣，于是在基確定的情況下，線性變換又跟矩陣一一對應！
????于是計算題的核心就是算出某一線性變換在某個基下的矩陣，嚴格按照下面線性變換和其基的關系即可：
????（練上面例題的計算就可以了！）
????更重要的是，不同基在一個線性變換上的矩陣是有關系的：
????（必須記憶公式，非常重要?。?/strong>
????于是引出相似的定義：
????相似矩陣可以用來求一個矩陣的冪，其最為重要的性質是：
相似矩陣的性質：
1、特征值相同?
2、秩相同?
3、跡相同 （對角線上元素之和）
4、行列式相同
緊緊抓住相似矩陣的這四個性質，會讓你在考試的時候非?？鞓返孛霘㈩}目！
????關于例題這種計算題，緊緊抓住線性變換的矩陣和基之間的過渡矩陣，基的坐標變換公式就可以，多練幾道！
特征值?。。。。。。。》浅Ｖ匾?/span>
????
????意思是什么呢，對于某一個線性變換，存在一個值和一個向量，經過這個線性變換之后，這個向量方向保持相同或相反！
????那么特征值怎么求呢，經過很簡單的：
????
????關于特征多項式：（一樣是讓你考試時候很開心的結論?。?/span>
1、A的全體特征值的和=A的跡，就是主對角線上各元素的和！
2、A的全體特征值的積等于A的行列式！
3、相似矩陣具有相同的特征多項式！
????關于矩陣A的各種變形矩陣的特征值和特征向量，可以再看表記憶一下。
本節(jié)的主要題目分為：
????1、很簡單的，求一個線性變換在一個具體的基下的特征值和特征向量，按照上面的步驟按部就班就可以，例題部分需要多看一下，因為是必考，所以一定要熟練掌握運算步驟。
????2、一些比較難的跟線性變換和矩陣特征值特征向量相關的綜合題，包括一些計算和證明，上面的例題可以自己看一下。概念和計算的結合部分必須掌握，但證明真的是愛莫能助了。
????最后介紹一個易忘的概念：特征子空間
其實就是一個線性空間中一個線性變換關于某個特征值的全部特征向量再加上零向量所組成的集合！
????我們前面討論了這么多，是為了什么？其實就是為了一個矩陣是否能夠對角化的問題！因為對角化可以讓很多事情變得特別簡單，因而研究對角化是非常重要的一個課題。
書上有定理8：一個矩陣可對角化的充要條件是有n個線性無關的特征向量?
?????而屬于不同的特征值的特征向量肯定線性無關，也就是如果特征多項式沒有重根就一定可對角化。如果有重根，就要看屬于重根的特征向量是否線性無關了。
????對稱矩陣必然可以對角化，而且其特征值一定是實數！??！這將在第九章歐幾里得空間給出證明
????順帶一提，為什么我們要研究矩陣的對角化問題，并且矩陣對角化是研究特征值的最終導向，所謂引入特征值特征向量都是為了對角化問題。其有幾個應用：一個是為了化標準二次型，一個是為了求矩陣的冪，因為對角矩陣的冪是最好求的?。?/span>
????在這個式子里，我們?yōu)榱饲髲碗s矩陣A的冪，先求出可以使矩陣A對角化矩陣為B的X，再把矩陣B的冪算出來，再反求出矩陣A的k次冪，這就是為什么要研究對角化問題！
????因而這樣一說，你就明白并且立即可以證明為什么冪零矩陣不能夠和對角矩陣相似了。
????線性變換的核和值域，也很簡單，對于線性變換而言：（前核后值域）
????其實非常直觀，核就是經過線性變換后變成零向量的向量集合，值域就是所有向量經過線性變換后的向量集合。
????當然，對于線性空間上定義線性變換的核和值域，它們自己就構成了這個線性空間的子空間，可以自己通過驗證封閉性以及加法和數乘證明。
????于是我們定義，一個線性變換的“核空間”的維數稱為這個線性變換的零度，而一個線性變換的“值域空間”的維數稱為這個線性變換的秩，隨即通過擴基定理可以證明（證明注意看，思想很重要）：
????當然有一些推論：通過值域和核的性質可以推出，如果線性變換是滿射，那么它的值域是整個空間；如果線性變換是單射，那么它的核只含有零，根據上面的公式，可以推出一個線性變換是單射的充要條件是滿射！（計算就是算一個核和值域練練手的就可以了?。?/span>
????題目非常多樣化，有時會讓你擴基的證明（參照零度加秩等于原空間維數的證明）；有時會讓你計算擴基，那就按部就班就可以；還有會讓你證明單射/滿射，那就直接根據定義來就可以，或者相互推也可以！（例題必須搞懂）
????不變子空間的話理解很簡單，但題目一般就比較難了。（看看理解就好）
? ? ***線性空間分解和線性變換矩陣化簡以及根子空間***（***代表比較難而且考頻較低）：
????理解有難度，沒時間可以不看了，而且這里我的理解也不一定到位！
????Jordan標準型更有意思，如果一個矩陣沒有辦法對角化的話，那么對于這樣的一個矩陣，它在復數域上最簡單最簡單最多最多能被化成若爾當塊的組合，就是Jordan標準型，也取決于特征值和其重數?。ㄟ@將在在第八章詳細介紹）
????至此加上14，矩陣相似的充要條件（加上第八章）：
初等因子組相同?
不變因子相同 ?
特征矩陣等價
行列式因子相同?
如果可以對角化，特征值相等
????判斷是否相似可以通過：?
特征值是否相等（特征值不同必不相似）
最小多項式是否相同（不同必不相似）來判斷
（不考但有用）
????至于怎么求最小多項式，那就根據它自己的特征多項式，一個一個因式驗證就可以求出最小多項式了。
????最小多項式的作用在于判斷矩陣是否相似，因為相似矩陣一定有相同的最小多項式（反過來不行?。?/span>
????至于題目肯定也是求最小多項式和判斷相似了，按照我上面的來即可。
????至此，線性空間的基礎講解就結束了，那么接下來就是λ-矩陣和歐氏空間，也敬請期待，會盡快盡快更新的！
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