????????球體（球）無疑是立體圖形中最為對稱的一個。

????????數(shù)學(xué)上，定義球體是以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體。

????? ? 注意：球體是在空間中到定點的距離等于或小于定長的點的集合，而在空間中到定點的距離等于定長的點的集合是球殼。

????????下面推導(dǎo)球體的表面積公式。

? ? ? ? 阿基米德推導(dǎo)出，球的表面積是其內(nèi)接最大圓面積的四倍。

????????即

????????他的推導(dǎo)如下：

????????如圖所示，淡藍色細條的面積

????????同時，我們把該細條投影到球外接圓柱體上，對應(yīng)的投影面積

????????所以

????????然后把這一系列的細條累加，就得到了以下結(jié)論：

????????????球的表面積等于其外接圓柱體的側(cè)面積。

????????因此，

????????其實，都得到淡藍色細條面積了，就不妨直接積分。

????????提及球的體積，就不得不提到祖暅原理。

????????祖暅原理：

????????????冪勢既同則積不容異。

????????也就是說，等高的兩立體圖形，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體圖形體積相等。

????????先舉一個簡單的例子，從平面圖形入手。

????????大家小學(xué)二年級都學(xué)過，同底等高的三角形面積相等。

? ? ? ? 這其實也可以用平面中的祖暅原理來簡單說明。

????????如圖所示，兩同底三角形被藍色平行線所截，得到的兩條線段長度應(yīng)該是相等的。（這一點很容易通過平行線分線段成比例得到）

????????那么，將所有這樣的線段微元累加起來，便得到同底等高的三角形面積相等這一性質(zhì)。

????????同樣的，在立體圖形中，也有這樣的性質(zhì)。

????????關(guān)于球的體積的計算方法，很著名的一種便是采用祖暅原理計算出來的。

????????首先介紹圓錐體積公式。

????????圓錐體積不會算？那就轉(zhuǎn)化為棱錐體積來算。

????????考察三棱柱。

????????如圖所示，一個三棱柱可以分割為三個體積相同的三棱錐。（這三個三棱錐兩兩之間等底等高體積相等）

????????那么，就有

????????這里表示底面面積，表示高。

????????然后考察底面積、高均相同的三棱錐和圓錐。

????????我們發(fā)現(xiàn)，在同一高度上，根據(jù)相似可知，是相同的。

????????結(jié)合相同，我們得到，同一高度上三棱錐、圓錐與平面交面的面積相同。

????????根據(jù)祖暅原理，三棱錐和圓錐的體積是相等的。

????????因此，我們得到圓錐的體積公式

? ? ## 當(dāng)然這一切用積分都可以解決。

????????考察倒置的圓錐。

????????然后考察如下圖形：球與如圖放置的圓錐。

????????觀察在高度為處圓錐與球截面的面積。

????????我們意外發(fā)現(xiàn)，

????????也就是說，在高度為處，球截面的面積等于圓柱截面的面積減去圓錐截面的面積。

????????根據(jù)祖暅原理，我們有

????????下面給出積分解法。

????????考察薄球殼累加，

????????另一種著名的計算方法來自球坐標(biāo)系。

????????基礎(chǔ)知識：在空間直角坐標(biāo)系中，該點坐標(biāo)可以表示為

????????考察該處的微元，有

????????所以