Turbo 譯碼淺析

2023-01-18 23:46 作者:樂吧的數(shù)學(xué) 0人讀過 | 我要投稿

本文章和系列視頻，將講解 Turbo 碼的基本入門。

需要的預(yù)備知識主要是知道卷積碼的基本編碼過程，知道卷積碼的 BCJR 譯碼算法。

Turbo 碼是由多個(gè)卷積碼并聯(lián)而成的， Turbo 名字的由來，是從譯碼的角度來看的。因此，嚴(yán)格來說，應(yīng)該稱為并聯(lián)卷積碼的 Turbo 譯碼算法更合適。
注：也有串聯(lián)的卷積碼構(gòu)成 Turbo 碼，也有由多個(gè)不同的卷積碼并聯(lián)/串聯(lián)成的 Turbo 碼，本文主要講解由多個(gè)相同的卷積碼并聯(lián)構(gòu)成的 Turbo 碼。而且，為了敘述方便和公式的簡潔，我們以下面的卷積碼為例子進(jìn)行討論。

如果單獨(dú)看每一個(gè)卷積碼，我們可以用 BCJR 譯碼算法來譯碼，假如我們先用上面那一個(gè)卷積碼，做 BCJR 譯碼，則根據(jù)之前的文章和視頻講解，我們知道對每個(gè)發(fā)送比特的后驗(yàn)概率，可以用如下公式計(jì)算：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0AP(X_t%3Dx%7Cr)%20%26%3D%20%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7DP(%5Cpsi_t%3Dp%2C%5Cpsi_%7Bt%2B1%7D%3Dq%7Cr)%20%5C%5C%0A%5C%5C%0A%26%5Cpropto%20%20%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7D%20%5Calpha_t(p)%20%5Cgamma_t(p%2Cq)%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D(q)%0A%5Cend%7Baligned%7D%20%20%5Ctag%201$
其中：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cgamma_t(p%2Cq)%0A%26%3D%20%20p(%5Cpsi_%7Bt%2B1%7D%3Dq%2C%20r_t%20%7C%20%20%5Cpsi_t%3Dp)%20%5C%5C%20%20%5C%5C%0A%26%3D%20p(%20r_t%20%7C%20%5Cpsi_%7Bt%2B1%7D%3Dq%2C%20%20%5Cpsi_t%3Dp)%20p(%5Cpsi_%7Bt%2B1%7D%3Dq%7C%5Cpsi_t%3Dp)%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%0A%26%3D%20p(r_t%7Ca_t)%20p(x_t%3Dx)%0A%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D%20%20%5Ctag%202$

以及：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Calpha_%7Bt%2B1%7D(q)%20%26%3D%5Csum_p%20%20%5Calpha_t(p)%20%5Clambda_t(p%2Cq)%20%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%0A%0A%5Cbeta_t(p)%20%26%3D%20%5Csum_q%20%20%5Cgamma_t(p%2Cq)%20%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D(q)%0A%5Cend%7Baligned%7D%20%20%5Ctag%203$

那么，我們可以很自然地想到，是否可以利用上面卷積碼得到的后驗(yàn)概率信息，來增強(qiáng)對第二個(gè)卷積碼做概率計(jì)算的可靠性？反過來，等第二個(gè)卷積碼的后驗(yàn)概率計(jì)算出來后，是否又可以用來增強(qiáng)對第一個(gè)卷積碼做概率計(jì)算的可靠性？如此往復(fù)迭代，就構(gòu)成了類似渦輪增壓的工作機(jī)制，因此，得名 Turbo 譯碼。

現(xiàn)在，我們來分析，從另外一個(gè)卷積碼的譯碼結(jié)果中，拿什么樣的概率信息給當(dāng)前這個(gè)卷積碼的譯碼使用。

最直觀的，最容易理解的，就是把第一個(gè)卷積碼的后驗(yàn)概率當(dāng)成對發(fā)送比特的概率，代入到第二個(gè)卷積碼中用到比特概率的地方。

如果令另外一個(gè)卷積碼中公式 (2) 里的先驗(yàn)概率? $p(x_t%3Dx)$ 等于上一個(gè)卷積碼中的后驗(yàn)概率，即：
$p(x_t%3Dx)%20%3D%20P(X_t%3Dx%7Cr)%20%20%5Ctag%204$

我們來分析一下這樣做會(huì)有什么問題。從上面的公式，我們在計(jì)算? $%5Cgamma$ 這個(gè)概率時(shí)，用到了先驗(yàn)概率，我們把 $%5Cgamma$ ? 這個(gè)概率公式再展開分析一下，從公式 (2) 繼續(xù)分析。因?yàn)槲覀冇玫降木矸e碼是系統(tǒng)碼，即編碼的 bit 會(huì)在編碼后的碼流中原封不動(dòng)地保存，那么：
$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cgamma_t(p%2Cq)%0A%26%3D%20%20p(%5Cpsi_%7Bt%2B1%7D%3Dq%2C%20r_t%20%7C%20%20%5Cpsi_t%3Dp)%20%5C%5C%20%20%5C%5C%0A%26%3D%20p(%20r_t%20%7C%20%5Cpsi_%7Bt%2B1%7D%3Dq%2C%20%20%5Cpsi_t%3Dp)%20p(%5Cpsi_%7Bt%2B1%7D%3Dq%7C%5Cpsi_t%3Dp)%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%0A%26%3D%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%2Cr_t%5E%7B(1)%7D%7Ca_t%5E%7B(0)%7D%2C%20a_t%5E%7B(1)%7D)%20p(x_t%3Dx)%0A%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D%20%20%5Ctag%205$

由于用的是系統(tǒng)碼，所以? $a_t%5E%7B(0)%7D$ 對應(yīng)的就是 $x_t$ ，所以，公式 (5) 可以寫成：
$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cgamma_t(p%2Cq)%0A%26%3D%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%2Cr_t%5E%7B(1)%7D%7Cx_t%2C%20a_t%5E%7B(1)%7D)%20p(x_t%3Dx)%20%20%20%5C%5C%0A%26%3D%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_t)p(r_t%5E%7B(1)%7D%7C%20a_t%5E%7B(1)%7D)%20p(x_t%3Dx)%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D%20%20%5Ctag%206$ 把 (6)? 代入 (1) 則：
$%5Cbegin%7Baligned%7D%0AP(X_t%3Dx%7Cr)%20%26%5Cpropto%20%20%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7D%20%5Calpha_t(p)%20%5Cgamma_t(p%2Cq)%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D(q)%20%5C%5C%0A%26%20%5Cpropto%20%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7D%20%5Calpha_t(p)%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_t)p(r_t%5E%7B(1)%7D%7C%20a_t%5E%7B(1)%7D)%20p(x_t%3Dx)%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D(q)%5C%5C%0A%26%20%5Cpropto%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_t)p(x_t%3Dx)%20%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7D%20%5Calpha_t(p)%20p(r_t%5E%7B(1)%7D%7C%20a_t%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D(q)%0A%5Cend%7Baligned%7D%20%20%5Ctag%207$

我們把公式 (7) 中最后三項(xiàng)，分別記為：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0AP_%7Bs%2Ct%7D(x)%20%26%3D%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_t)%20%5C%5C%20%5C%5C%0AP_%7Bp%2Ct%7D(x)%26%3Dp(x_t%3Dx)%20%5C%5C%20%5C%5C%0AP_%7Be%2Ct%7D(x)%26%3D%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7D%20%5Calpha_t(p)%20p(r_t%5E%7B(1)%7D%7C%20a_t%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D(q)%0A%5Cend%7Baligned%7D$

如果把第一個(gè)卷積碼計(jì)算出來的后驗(yàn)概率，代入到第二個(gè)卷積碼的先驗(yàn)概率，則有：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0AP(X_t%3Dx%7Cr)%20%26%20%5Cpropto%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_t)p(x_t%3Dx)%20%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7D%20%5Calpha_t(p)%20p(r_t%5E%7B(2)%7D%7C%20a_t%5E%7B(2)%7D)%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D(q)%20%20%5C%5C%0A%26%20%5Cpropto%20%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_t)%20%20%20%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_t)p(x_t%3Dx)%20%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7D%20%5Calpha_t(p)%20p(r_t%5E%7B(1)%7D%7C%20a_t%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D(q)%20%20%20%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7D%20%5Calpha_t(p)%20p(r_t%5E%7B(2)%7D%7C%20a_t%5E%7B(2)%7D)%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D(q)%0A%5Cend%7Baligned%7D%20%20%20%5Ctag%208$

可以看到，上面有兩個(gè) $p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_t)$ ，而且代入后，還有 $p(x_t%3Dx)$ ，這樣會(huì)導(dǎo)致 “重復(fù)計(jì)算” 的感覺，參考書中好像是說不要這樣，而是用公式 (7) 中求和的部分，作為第一個(gè)卷積碼因?yàn)榫幋a而得到的概率信息，給第二個(gè)卷積碼使用，即傳遞：

$p(x_t%3Dx)%3D%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7D%20%5Calpha_t(p)%20p(r_t%5E%7B(1)%7D%7C%20a_t%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D(q)%20%20%5Ctag%209$

所以， Turbo 譯碼的大致流程為：

1) 對第一個(gè)卷積碼，計(jì)算? $%5Calpha%2C%20%5Cbeta$ 概率
2) 利用公式 (9)，計(jì)算? $P_%7Be%2Ct%7D(x)%3D%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7D%20%5Calpha_t(p)%20p(r_t%5E%7B(1)%7D%7C%20a_t%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D$

3) 把? $P_%7Be%2Ct%7D(x)$ 當(dāng)成 $p(x_t%3Dx)$ ，傳遞給第二個(gè)卷積碼
4) 對第二個(gè)卷積碼，計(jì)算? $%5Calpha%2C%20%5Cbeta$ 概率
5) 利用公式 (9) （稍微變化一點(diǎn)），計(jì)算? $P_%7Be%2Ct%7D(x)%3D%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_x%7D%20%5Calpha_t(p)%20p(r_t%5E%7B(2)%7D%7C%20a_t%5E%7B(2)%7D)%20%5Cbeta_%7Bt%2B1%7D$

6) 把? $P_%7Be%2Ct%7D(x)$ 當(dāng)成 $p(x_t%3Dx)$ ，傳遞回第一個(gè)卷積碼，轉(zhuǎn)到步驟 1 繼續(xù)，直到結(jié)束.

詳細(xì)的算法描述如下：

? $j%5Cin%20%5C%7B1%2C2%5C%7D$ 表示第幾個(gè)卷積碼

$l$ ? 表示第幾次迭代

$P_%7Be%2Ct%7D%5E%7B(l%2Cj)%7D$ ，表示第 $l$ 次迭代中，第? $j$ ?個(gè)卷積碼計(jì)算出來的要傳遞的外信息。

$P%5E%7B(l%2Cj)%7D$ ? 表示第 $l$ ? 次迭代中，第 ? $j$ ?個(gè)卷積碼用到的先驗(yàn)概率

M? 最大迭代次數(shù)

-----------------------------算法------begin

初始化：令? $P%5E%7B(0%2C1)%7D(x_t%3Dx)%3DP%5E%7B(0)%7D(x_t%3Dx)$ ? (用初始先驗(yàn)概率輸入給第一個(gè)卷積碼，一般是等概率分布的)

迭代：按照迭代次數(shù)循環(huán) $l%3D1%2C2%2C....M$
?? 1. 用? $P%5E%7B(l-1%2C1)%7D(x_t%3Dx)$ 作為先驗(yàn)概率? $P(x_t%3Dx%20)$ 輸入給第一個(gè)卷積碼，計(jì)算
????? * 所有的 $%5Calpha%2C%20%5Cbeta$

????? * 計(jì)算 $P_%7Be%2Ct%7D%5E%7B(l%2C1)%7D(x_t%3Dx)$

?? 2. 令 $P%5E%7B(l%2C2)%7D(x_t%3Dx)%20%3D%20%5Cprod%20%5BP_%7Be%2Ct%7D%5E%7B(l%2C1)%7D(x_t%3Dx)%5D$

?? 3. 用? $P%5E%7B(l%2C2)%7D(x_t%3Dx)%20$ 作為先驗(yàn)概率 $P(x_t%3Dx%20)$ ，計(jì)算
????? * 所有的 $%5Calpha%2C%20%5Cbeta$

?? 4. 如果不是最后一次迭代
????? * 計(jì)算 $P_%7Be%2Ct%7D%5E%7B(l%2Cl)%7D(x_t%3Dx)$

????? * 令 $P%5E%7B(l%2C1)%7D(x_t%3Dx)%20%3D%20%5Cprod%5E%7B-1%7D%20%5BP_%7Be%2Ct%7D%5E%7B(l%2C2)%7D(x_t%3Dx)%5D$

?? 5. 否則，如果是最后一次迭代
????? * 用? $P%5E%7B(l%2C2)%7D(x_t%3Dx)%20$ 作為先驗(yàn)概率 $P(x_t%3Dx%20)$ ，計(jì)算 $P(x_t%3Dx%7Cr)$

????? * 解交織 $P(x_t%3Dx%7Cr)%20%3D%20%5Cprod%5E%7B-1%7D%5BP(x_t%3Dx%7Cr)%5D$
? ?

-----------------------------算法------end

我們以一個(gè)具體的例子來看譯碼的過程.

首先，做初始化，我們有的先驗(yàn)概率，是 0/1 比特的取值是等概率的，所以:
$P%5E%7B(0%2C1)%7D(x_t%3D0)%3DP%5E%7B(0)%7D(x_t%3D0)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0AP%5E%7B(0%2C1)%7D(x_t%3D1)%3DP%5E%7B(0)%7D(x_t%3D1)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$

對于時(shí)刻 0 到時(shí)刻 9，我們用公式 (6) 計(jì)算出來? $%5Cgamma$ 概率：
$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cgamma_0(p%3D0%2Cq%3D0)%20%26%3D%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_0%3D0)p(r_t%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D%3D-1)%20p(x_0%3D0)%20%20%5C%5C%0A%5Cgamma_0(p%3D0%2Cq%3D2)%20%26%3D%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_0%3D1)p(r_t%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D%3D%2B1)%20p(x_0%3D1)%20%5C%5C%0A...%5C%5C%0A%5Cgamma_0(p%3D3%2Cq%3D1)%20%26%3D%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_0%3D0)p(r_t%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D%3D-1)%20p(x_0%3D0)%20%5C%5C%0A%5Cgamma_0(p%3D3%2Cq%3D3)%20%26%3D%20p(r_t%5E%7B(0)%7D%7Cx_0%3D1)p(r_t%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D%3D%2B1)%20p(x_0%3D1)%20%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

計(jì)算出所有的 $%5Calpha$
?初始化 0 時(shí)刻的 $%5Calpha$
$%5Calpha_0(0)%20%3D%201%20%20%5C%5C%0A%5Calpha_0(1)%20%3D%200%20%5C%5C%0A%5Calpha_0(2)%20%3D%200%20%5C%5C%0A%5Calpha_0(3)%20%3D%200%0A$
1 時(shí)刻的 $%5Calpha$

$%5Calpha_1(0)%20%3D%5Csum_%7Bp%5Cin%5C%7B0%2C1%5C%7D%7D%20%20%5Calpha_0(p)%20%5Clambda_0(p%2C0)%20%3D%5Calpha_0(0)%20%5Clambda_0(0%2C0)%2B%5Calpha_0(1)%20%5Clambda_0(1%2C0)%20%5C%5C%0A%5Calpha_1(1)%20%3D%5Csum_%7Bp%5Cin%5C%7B2%2C3%5C%7D%7D%20%20%5Calpha_0(p)%20%5Clambda_0(p%2C1)%20%3D%5Calpha_0(2)%20%5Clambda_0(2%2C1)%2B%5Calpha_0(3)%20%5Clambda_0(3%2C1)%20%5C%5C%0A%5Calpha_1(2)%20%3D%5Csum_%7Bp%5Cin%5C%7B0%2C1%5C%7D%7D%20%20%5Calpha_0(p)%20%5Clambda_0(p%2C2)%20%3D%5Calpha_0(0)%20%5Clambda_0(0%2C2)%2B%5Calpha_0(1)%20%5Clambda_0(1%2C2)%20%5C%5C%0A%5Calpha_1(3)%20%3D%5Csum_%7Bp%5Cin%5C%7B2%2C3%5C%7D%7D%20%20%5Calpha_0(p)%20%5Clambda_0(p%2C3)%20%3D%5Calpha_0(2)%20%5Clambda_0(2%2C3)%2B%5Calpha_0(3)%20%5Clambda_0(3%2C3)%20%5C%5C$

依次類推，最后計(jì)算 9 時(shí)刻的 $%5Calpha$

$%5Calpha_9(0)%20%3D%5Csum_%7Bp%5Cin%5C%7B0%2C1%5C%7D%7D%20%20%5Calpha_8(p)%20%5Clambda_8(p%2C0)%20%3D%5Calpha_8(0)%20%5Clambda_8(0%2C0)%2B%5Calpha_8(1)%20%5Clambda_8(1%2C0)%20%5C%5C%0A%5Calpha_9(1)%20%3D%5Csum_%7Bp%5Cin%5C%7B2%2C3%5C%7D%7D%20%20%5Calpha_8(p)%20%5Clambda_8(p%2C1)%20%3D%5Calpha_8(2)%20%5Clambda_8(2%2C1)%2B%5Calpha_8(3)%20%5Clambda_8(3%2C1)%20%5C%5C%0A%5Calpha_9(2)%20%3D%5Csum_%7Bp%5Cin%5C%7B0%2C1%5C%7D%7D%20%20%5Calpha_8(p)%20%5Clambda_8(p%2C2)%20%3D%5Calpha_8(0)%20%5Clambda_8(0%2C2)%2B%5Calpha_8(1)%20%5Clambda_8(1%2C2)%20%5C%5C%0A%5Calpha_9(3)%20%3D%5Csum_%7Bp%5Cin%5C%7B2%2C3%5C%7D%7D%20%20%5Calpha_8(p)%20%5Clambda_8(p%2C3)%20%3D%5Calpha_8(2)%20%5Clambda_8(2%2C3)%2B%5Calpha_8(3)%20%5Clambda_8(3%2C3)%20%5C%5C$

再計(jì)算? $%5Cbeta$ 概率，計(jì)算時(shí)刻 10 到時(shí)刻 1 的：

初始化時(shí)刻 10 的 ? $%5Cbeta$ ：

$%5Cbeta_%7B10%7D(0)%20%3D%201%20%20%5C%5C%0A%5Cbeta_%7B10%7D(1)%20%3D%200%20%5C%5C%0A%5Cbeta_%7B10%7D(2)%20%3D%200%20%5C%5C%0A%5Cbeta_%7B10%7D(3)%20%3D%200$

計(jì)算 9 時(shí)刻的 ? $%5Cbeta$

$%5Cbeta_9(0)%20%3D%20%5Csum_%7Bq%5Cin%20%5C%7B0%2C2%5C%7D%7D%20%20%5Cgamma_9(0%2Cq)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(q)%20%3D%20%5Cgamma_9(0%2C0)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(0)%20%2B%20%20%5Cgamma_9(0%2C2)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(2)%20%5C%5C%0A%5Cbeta_9(1)%20%3D%20%5Csum_%7Bq%5Cin%20%5C%7B0%2C2%5C%7D%7D%20%20%5Cgamma_9(1%2Cq)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(q)%20%3D%20%5Cgamma_9(1%2C0)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(0)%20%2B%20%20%5Cgamma_9(1%2C2)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(2)%20%5C%5C%0A%5Cbeta_9(2)%20%3D%20%5Csum_%7Bq%5Cin%20%5C%7B1%2C3%5C%7D%7D%20%20%5Cgamma_9(2%2Cq)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(q)%20%3D%20%5Cgamma_9(2%2C1)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(1)%20%2B%20%20%5Cgamma_9(2%2C3)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(3)%20%5C%5C%0A%5Cbeta_9(3)%20%3D%20%5Csum_%7Bq%5Cin%20%5C%7B1%2C3%5C%7D%7D%20%20%5Cgamma_9(3%2Cq)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(q)%20%3D%20%5Cgamma_9(3%2C1)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(1)%20%2B%20%20%5Cgamma_9(3%2C3)%20%20%5Cbeta_%7B10%7D(3)%20%5C%5C$

以此類推，計(jì)算 1 時(shí)刻的 ? $%5Cbeta$

$%5Cbeta_1(0)%20%3D%20%5Csum_%7Bq%5Cin%20%5C%7B0%2C2%5C%7D%7D%20%20%5Cgamma_1(0%2Cq)%20%20%5Cbeta_2(q)%20%3D%20%5Cgamma_1(0%2C0)%20%20%5Cbeta_2(0)%20%2B%20%20%5Cgamma_1(0%2C2)%20%20%5Cbeta_2(2)%20%5C%5C%0A%5Cbeta_1(1)%20%3D%20%5Csum_%7Bq%5Cin%20%5C%7B0%2C2%5C%7D%7D%20%20%5Cgamma_1(1%2Cq)%20%20%5Cbeta_2(q)%20%3D%20%5Cgamma_1(1%2C0)%20%20%5Cbeta_2(0)%20%2B%20%20%5Cgamma_1(1%2C2)%20%20%5Cbeta_2(2)%20%5C%5C%0A%5Cbeta_1(2)%20%3D%20%5Csum_%7Bq%5Cin%20%5C%7B1%2C3%5C%7D%7D%20%20%5Cgamma_1(2%2Cq)%20%20%5Cbeta_2(q)%20%3D%20%5Cgamma_1(2%2C1)%20%20%5Cbeta_2(1)%20%2B%20%20%5Cgamma_1(2%2C3)%20%20%5Cbeta_2(3)%20%5C%5C%0A%5Cbeta_1(3)%20%3D%20%5Csum_%7Bq%5Cin%20%5C%7B1%2C3%5C%7D%7D%20%20%5Cgamma_1(3%2Cq)%20%20%5Cbeta_2(q)%20%3D%20%5Cgamma_1(3%2C1)%20%20%5Cbeta_2(1)%20%2B%20%20%5Cgamma_1(3%2C3)%20%20%5Cbeta_2(3)%20%5C%5C$

至此，我們可以計(jì)算 extrinsic probability 外信息：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0AP_%7Be%2C0%7D(0)%26%3D%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_0%7D%20%5Calpha_0(p)%20p(r_0%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7B1%7D(q)%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Calpha_0(0)%20p(r_0%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7B1%7D(0)%20%2B%20%5Calpha_0(1)%20p(r_0%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7B1%7D(2)%20%20%5C%5C%0A%26%5Cquad%20%5Cquad%20%2B%5Calpha_0(2)%20p(r_0%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7B1%7D(1)%20%2B%20%5Calpha_0(3)%20p(r_0%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7B1%7D(3)%20%5C%5C%0A%0AP_%7Be%2C0%7D(1)%26%3D%5Csum_%7B(p%2Cq)%5Cin%20S_1%7D%20%5Calpha_0(p)%20p(r_0%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7B1%7D(q)%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Calpha_0(0)%20p(r_0%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7B1%7D(2)%20%2B%20%5Calpha_0(1)%20p(r_0%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7B1%7D(0)%20%20%5C%5C%0A%26%5Cquad%20%5Cquad%20%2B%5Calpha_0(2)%20p(r_0%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7B1%7D(3)%20%2B%20%5Calpha_0(3)%20p(r_0%5E%7B(1)%7D%7C%20a_0%5E%7B(1)%7D)%20%5Cbeta_%7B1%7D(1)%20%5C%5C%20%20%5C%5C%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D$

我們把下一個(gè)卷積碼要用的先驗(yàn)概率用前面的外信息賦值：
$P%5E%7B(0%2C2)%7D(x_t%3D0)%3DP_%7Be%2C0%7D(0)%20%5C%5C%0AP%5E%7B(0%2C2)%7D(x_t%3D1)%3DP_%7Be%2C0%7D(1)$ 用同樣的步驟計(jì)算 $%5Cgamma%2C%20%5Calpha%2C%20%5Cbeta$ ，然后計(jì)算出? $P_%7Be%2C0%7D(x)$ 外信息，把這個(gè)外信息作為下一輪的第一個(gè)卷積碼的先驗(yàn)概率來使用，繼續(xù)上面的過程。

標(biāo)簽：

最美情侣中文字幕电影,在线麻豆精品传媒,在线网站高清黄,久久黄色视频

Turbo 譯碼淺析

Turbo 譯碼淺析的評論 (共條)

你可能也喜歡這些文章

最新發(fā)布的文章

最美情侣中文字幕电影,在线麻豆精品传媒,在线网站高清黄,久久黄色视频

Turbo 譯碼淺析

本文作者的其他文章

Turbo 譯碼淺析的評論 (共 條)

你可能也喜歡這些文章

最新發(fā)布的文章

Turbo 譯碼淺析的評論 (共條)