r2(N^x)是增函數(shù)，N表示每個大于等于6的偶數(shù)，x表示大于等于1的自然數(shù)
證明：
r2(N^x)=C(N^x)+2π(N^x)-N^x/2
N^x=2 C(N^x)+4π(N^x)-2 r2(N^x)
當(dāng)x+1時，則有：
C(N^(x+1))+2π(N^(x+1))-r2(N^(x+1))=N *[C(N^x)+2π(N^x)-r2(N^x)]
當(dāng)x趨向于無窮大時，
【1】根據(jù)奇合數(shù)對個數(shù)密度定理可知：
limC(N^(x+1))/N^(x+1)=1/2......<1>
x→∞
limC(N^x)/ N^x=1/2.............<2>
x→∞
則：<1>/<2>式得：
limC(N^(x+1))/NC(N^x)=1
x→∞
即：C(N^(x+1)) ~NC(N^x）…………………….（a）
【2】根據(jù)素數(shù)定理有：
limπ（N^(x+1)）/N^(x+1)/lnN^(x+1)=1........<3>
x→∞
limπ(N^x)/N^x/lnN^x=1...................<4>
x→∞
則<3>/<4>式得：
limπ（N^(x+1)）/Nπ(N^x)=1
x→∞
即：π（N^(x+1)）~Nπ(N^x)…………………(b)
N^(x+1)=N*N^x
N^(x+1)/N*N^x=1
limN^(x+1)/N*N^x=1
x→∞
lim[C(N^(x+1)) +2π(N^(x+1)-r2(N^(x+1))]/N[C(N^x)+2π(N^x)-r2(N^x)]=1
x→∞
lim[N*C(N^x)+2Nπ(N^x)-r2(N^(x+1))]/N[C(N^x)+2π(N^x)-r2(N^x)]=1
x→∞
令W=C(N^x)+2π(N^x),等式左邊分子分母同除以-Nr2(N^x)，
lim[r2(N^(x+1))/N*r2(N^x)-W/r2(N^x)]/[1-W/r2(N^x)]=1
x→∞
limr2(N^(x+1))/N*r2(N^x)-limW/r2(N^x)]=1-limW/r2(N^x)
x→∞.................................x→∞...................x→∞
limr2(N^(x+1))/N*r2(N^x)=1
x→∞
即：r2(N^(x+1))~ N*r2(N^x)≥N，
于是：r2(N^(x+1))>r2(N^x)>1，r2(N^(x+1))≥N
故：r2(N^x)=C(N^x)+2π(N^x)-N^x/2是增函數(shù)