這個文章，我們講一下有碼間干擾信道的均衡問題，也算是 BCJR 算法的一個應(yīng)用。

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我們先看一下這個問題的背景。假設(shè)一個信道，數(shù)據(jù)發(fā)送后由于走不同的路徑（可能原因之一），到達(dá)接收端有不同的延遲以及不同的衰減系數(shù)，例如 在 k=0 時刻發(fā)送了一個數(shù)據(jù)，接收端在? k=0, k=1, k=2, k=4 這幾個時刻都收到了 k=0 時刻發(fā)送的數(shù)據(jù)，每一個時刻收到的數(shù)據(jù)，都對應(yīng)一個衰減系數(shù)，我們這里不考慮相位的變化，只考慮幅度的衰減，則 h0, h1, h2, h4 這樣四個衰減系數(shù)。

則不同時刻收到的數(shù)據(jù)可以表示為：

實(shí)際上就是一個卷積的過程，如果令 ， 則：

可以畫成如下的圖形：

圖一:

對于這樣一個信道，我們可以想到，在收到 N 個接收數(shù)據(jù) r 后，如何估計出來發(fā)送的數(shù)據(jù) X ? 這就是所謂的信道均衡或者說信道 detection 的問題。

用概率公式的方式，可以表示為：

由于我們做的是卷積計算，因此，公式 (1) 不能寫成多個概率的乘積，所以，計算量會非常大。我們可以按照每個輸入時刻來計算概率：

即

其中 r 是一個 N 維向量.

我們可以把上面的圖一，看成是碼率為 1 的卷積碼，那么，我們就可以用 BCJR 算法來計算公式 (2) 的概率。

用這種方法做的均衡(equalization)，是基于柵格的方法(Trellis-based method)，當(dāng)然還有其他方法，例如線性濾波的方法。

從公式 (3) 出發(fā)：

其中 ?表示在 t 時刻，輸入 x 引起的所有可能的狀態(tài)轉(zhuǎn)移.

我們接著分析公式 (4) 中的?

繼續(xù)分析公式 (5) 中分子的部分：

對于 ?概率

對于 ?概率

因此，把公式 (6) 代入公式 (4)

?概率又可以根據(jù)公式 (7) (8) 遞推得到。

關(guān)于 ?概率，可以根據(jù)先驗(yàn)概率和信道給的信息計算出來：

所以，我們把這種有碼間干擾 (Inter-Symbol Interference)的信道，可以看成等效的碼率為1的卷積碼，從而可以使用 BCJR 算法做概率計算，從而做信道detection(也成為信道均衡? channel equalization).

這也算 BCJR 算法的一個具體應(yīng)用吧。