今天開始，我們就真正走進一個全新的數(shù)字世界了哦！你——準備好了嗎？

還記得我們在第一篇文章里提到的關(guān)于“有理數(shù)”的“域公理”嗎？

按照《抽象代數(shù)》的觀點：一個集合定義了“加法”和“乘法”兩種運算的交換群，同時滿足“分配律”就可以看作是一個“域”了。

所謂的運算其實可以看作“一個集合與自身的笛卡爾積到自身的映射”，也就是說，滿足一個運算的所有成員和結(jié)果都屬于同一集合（由映射的性質(zhì)，所得的結(jié)果是唯一的）——這就是所謂的“封閉律”。（有小伙伴提醒我要加上這一條?。?/p>

所謂加法的“交換群”，也就是說“有理數(shù)”滿足下述四個條件——

對應(yīng)到《抽象代數(shù)》可以這么簡記——

1. 結(jié)合律=半群

2. 有單位元的半群=幺半群

3. 有逆元的幺半群=群

4. 群+交換律=Abel群/交換群

我們的任務(wù)就是從“實數(shù)的定義”——“有理數(shù)分劃”出發(fā)，定義“實數(shù)的加法”，然后驗證“實數(shù)的加法”依然滿足這四條基本性質(zhì)——我們以后就可以在“實數(shù)”范圍內(nèi)自由地加加減減了，想想就開心呢！

12實數(shù)的和的定義

書上照例先從“有理數(shù)”出發(fā)，給出了“實數(shù)的和”的定義——

即是說，我們?nèi)稳蓚€實數(shù)f、g，我們分別用兩組有理數(shù)從兩個方向無限接近它們，

a<f<a'，b<g<b'，

如果有一個實數(shù)h滿足，對所有的（/任意的）a、b、a'、b'，有

a+b<h<a'+b'，

則成h是f和g的和，記為f+g。

注意：這里面的a'、b'、a、b是有無限多的，并且，對于我們總能找到更大的a、b滿足條件，所以我們總能找到更大的a+b，同理，總能找到更小的a'+b'。

我們先證明“封閉律”，即

a.存在這個定義所述的實數(shù)，——存在性

b.這個實數(shù)是唯一的?！ㄒ恍?/p>

1.書上先證明了“存在性”——

用到了上次提到的“確界原理”——“確界原理”的證明核心技巧是要從給出條件中找出一個有上/下界的數(shù)集，當然，因為“確界原理”是由“實數(shù)分劃”導出的，所以任何能夠用“確界原理”證明的題目都可以用“實數(shù)分劃”來證明，數(shù)學就這么好玩的！

1. 把所有的a+b構(gòu)成一個集合{a+b}，所有的a'+b'構(gòu)成一個集合{a'+b'}；

2. 因為對任意a、b、a'、b'，a<a'，b<b'，所以a+b<a'+b'，即集合{a+b}有上界；

3. 根據(jù)“確界原理”，{a+b}必有上確界，記為c；

4. 所以，由上確界性質(zhì)，對于任意a、b、a'、b'，a+b<=c<=a'+b'

5. 因為總能找到更大的a+b，所以{a+b}沒有最大值，類似的，{a'+b'}沒有最小值，所以4中的等號總無法取到，于是a+b<c<a'+b'，c即為我們所求的實數(shù)。

2.再證明這種實數(shù)是唯一的——

這里有用到了我們之前提到的那個精致的小命題——

即“無窮角度下如何理解等于”——

我們說過，證明“唯一性”往往采用“反證法”——即，假設(shè)存在兩個對象滿足條件，再依據(jù)已知條件與常識導出這兩個對象相等，或者說等價，即可。

書中用的也就是這個思路，不過沒有點明“反證法”罷了，我們再梳理一遍——

1. 假設(shè)有兩個實數(shù)j<=k，滿足a+b<j<a'+b'，a+b<k<a'+b'；

2. 0<=k-j<（a'+b'）-（a+b）=（a'-a）+（b’-b）；

3. 因為a、a'的取值可以無限接近g，b、b'的取值可以無限接近f，即對任意小正數(shù)e，都存在a、b、a'、b'，使得a'-a<e/2，b'-b<e/2；

4. 由2,3得，對任意小正數(shù)e，0<=k-j<e，即k=j；

5. 即該定義下，實數(shù)的和是唯一的。

我們便證明了，這種定義下的“實數(shù)的和”存在且唯一，滿足運算的基本條件。

明天，我們來具體聊聊“實數(shù)加法”的四條重要運算性質(zhì)，不見不散哦！