????????事情的起源是我發(fā)現(xiàn)了群友使用的一款功能強大的地圖導(dǎo)航軟件。其中一項功能是這樣的：在地圖上描繪出一個多邊形，而后給出所圍區(qū)域的面積。下面，我們把這個問題抽象一下，變成如下形式：

????????今在笛卡爾坐標(biāo)系下給定n組點，將首尾順次相接，恰能圍成一個單連通區(qū)域，且成逆時針繞向(這點很重要)，記之為Sn。問如何求區(qū)域Sn的面積？

????????我們從簡單的情況開始考慮。對于給定三個點A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3)，如何計算三角形A1A2A3的面積呢？

????????一個自然的想法是利用叉乘

注意，這里為了表示方便，向量叉乘外的|·|僅為取向量z向的代數(shù)值，而非取絕對值。若無特殊聲明，后續(xù)|·|仍為取向量z向的代數(shù)值，切記。之所以做此聲明，是因為我們引入了向量叉乘，而向量叉乘必須滿足右手規(guī)則，這使得我們結(jié)果的正負(fù)符號與曲線的繞向密切相關(guān)。也就是說，當(dāng)曲線為逆時針環(huán)繞一周時，求得結(jié)果為正，否則結(jié)果為負(fù)，這個結(jié)果稱為有向面積。這一點在后續(xù)推導(dǎo)中仍要用到。

????????注意到公式(1)最后的結(jié)果中存在著某種很優(yōu)美的對稱形式，我們將公式(1)做個變形，能看得更加清楚一些

規(guī)定其中x4=x1, y4=y1，后面出現(xiàn)類似情況不贅述。

????????公式(2)的推導(dǎo)過程啟發(fā)我們，計算三角形A1A2A3的面積并不依賴于我們所選的坐標(biāo)原點O，也就是說，再任取其它一點B為新的坐標(biāo)原點，三角形A1A2A3的面積不會發(fā)生改變。

這個結(jié)果是合理的。

????????我們可以推測，n多邊形(n=3,4,5,…)的有向面積應(yīng)該具有以下形式

下面使用數(shù)學(xué)歸納法證明公式(4)。

證明 前面我們已經(jīng)證明n=3的情況成立。

????????假設(shè)當(dāng)n=l時公式(4)成立，即

其中l(wèi)=3,4,5,…

????????接下來考慮n=l+1的情況。分成兩種情況討論，第一種情況是點Al+1在Sl外

這時Sl+1的有向面積應(yīng)為Sl的有向面積和新三角形有向面積之和

????????第二種情況是點Al+1在Sl內(nèi)

這時Sl+1的有向面積應(yīng)為Sl的有向面積和新三角形有向面積之差，這里注意因繞向?qū)е碌挠邢蛎娣e的符號問題

????????兩種情況的結(jié)果是一致的，且說明當(dāng)n=l+1時公式(4)也成立。于是對于任意n=3,4,5,…，公式(4)均成立。證畢。

????????在實際計算面積時，只需要對公式(4)取絕對值即可。注意，取絕對值后結(jié)果必為正，所以即使曲線的繞向是順時針也不會影響最終結(jié)果。

這就是原問題的答案。