【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書(shū)”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚(yú)座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書(shū)”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶猓欢t，我認(rèn)為《微積分初步》這本書(shū)對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書(shū)”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。?

第一章直線、角、平行線——角和垂線? ?

§1-9余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角

【01】我們用量角器來(lái)量二塊不同形狀的三角板的兩個(gè)銳角，就會(huì)知道，其中一塊的兩個(gè)銳角分別是 30° 和 60°；另一塊的兩個(gè)銳角都是 45°? 。每一塊三角板上兩個(gè)銳角的和都是：30°＋60°＝90°；45°＋45°＝90°? 。

【02】象這樣的兩個(gè)角的和等于 90° 的情形是很多的。例如，自直角的頂點(diǎn)在兩邊之間任意引一射線，把直角分成兩個(gè)角，這兩個(gè)角的和也等于 90°。在圖1·60中 ∠AOB＝90°，而 ∠AOC＋∠COB＝90°? 。

【03】如果兩個(gè)角的和等于 90°，那末這兩個(gè)角叫做互為余角。例如，30° 角是 60° 角的余角，60° 角也是 30° 角的余角。

【04】我們根據(jù)互為余角的關(guān)系，就容易推知下述結(jié)論是正確的：等角（或同角）的余角相等。

【05】例如，已知 ∠1＝∠2，而 ∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴ ∠3＝∠4（等角的余角相等）。

【06】又如，∠1＋∠a＝90°，∠1＋∠b＝90°，∴ ∠a＝∠b（同角的余角相等）。

【07】如果兩個(gè)角的和等于 180°，那末這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，例如，30° 和 150° 角；100° 和 80° 角；等等。

【08】如果我們把任意一個(gè)銳角或者鈍角的一邊，從它的頂點(diǎn)向外延長(zhǎng)，就得到兩個(gè)角，它們的和等于180°? 。它們同時(shí)又是鄰角，所以叫做鄰補(bǔ)角。

【09】圖1·61中的 ∠1 與 ∠2，∠3 與 ∠4 都是鄰補(bǔ)角。

【10】我們根據(jù)互為補(bǔ)角的關(guān)系，可以推知，等角（或同角）的補(bǔ)角相等。

【11】如果我們把一個(gè)角的兩邊從它的頂點(diǎn)向外延長(zhǎng)，就得到兩雙角。象圖1·62中的 ∠AOB 與 ∠COD，∠AOD 與 ∠BOC；它們中間一角的兩邊都是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線。

【12】如果一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，則這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。圖1·62中的 ∠AOB 和 ∠COD；∠AOD 和 ∠BOC 都是對(duì)頂角。

【13】現(xiàn)在來(lái)計(jì)算下面的題目：

例.已知 ∠AOB＝55°，計(jì)算它的對(duì)頂角 COD 是幾度？（圖1·63）。

【解】

????????因?yàn)?∠AOB 和 ∠COD 是對(duì)頂角，因此 AC 和 BD 都是直線，所以 ∠AOB＋∠BOC＝180°，∠COD＋∠BOC＝180°? 。

????????從上式可知 ∠AOB＝∠COD（同角的補(bǔ)角相等）

????????但已知 ∠AOB＝55°，∴ ∠COD＝55°? 。

????????答：∠COD是55°? 。

????????我們參照上面的做法，如果設(shè) ∠AOB＝38°，那末它的對(duì)頂角∠COD幾度呢？顯然，∠COD＝38°，也就是∠AOB＝∠COD? 。從此得出對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。

例1.求 25°30' 的余角和補(bǔ)角。

【解】它的余角是 90°－25°30'＝64°30'? 。它的補(bǔ)角是 180°－25°30'＝154°30'? 。

例2.互為補(bǔ)角的兩個(gè)角，能不能都是銳角？鈍角？直角？在一般情形是哪種角？

【答】

????????(1) 互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不能都是銳角。因?yàn)槿绻鼈兌际卿J角，則它們的和一定小于2d，而不等于2d? 。

????????(2) 互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不能都是鈍角。因?yàn)槿绻鼈兌际氢g角，則它們的和一定大于 2d，而不等于2d? 。

????????(3) 互為補(bǔ)角的兩個(gè)角可能都是直角。因?yàn)閮芍苯堑暮偷扔?2d? 。

????????(4) 在一般情形，互為補(bǔ)角的兩角是一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角。

例3.已知 ∠a＝15°，求 ∠a 的余角的補(bǔ)角是幾度？

【解】

????????圖1·64中，∠a＝15°，∠AOC＝90°，又 BOD 是一直線。

????????可知 ∠b 是 ∠a 的余角，∠c 是 ∠b 的補(bǔ)角，也就是 ∠c 是 ∠a 的余角的補(bǔ)角。計(jì)算得，∠b＝90°－15°＝75°，∠c＝180°－75°＝105°? 。答：∠a 的余角的補(bǔ)角等于 105°? 。

例4.圖1·65中直線 AB 與 CD 相交于 O，∠AOC＝32°30'，求其余三個(gè)角的度數(shù)。

【解】

????????已知 ∠AOC＝32°30'，又 AB 和 CD 兩直線相交于 O，則 ∠BOD＝∠AOC＝32°30'（對(duì)頂角相等）。

????????∠BOC＝∠AOD＝180°－32°30'＝147°30'（∠BOC 與 ∠AOC互補(bǔ)，∠BOC 與 ∠AOD 是對(duì)頂角）

????????答：∠BOD＝32°30'，∠BOC＝∠AOD＝147°30'? 。

習(xí)題1-9

1、下圖中 CO⊥AE，∠AOB＝∠EOD，在圖中還有相等的角嗎？為什么？【∠BOC＝∠DOC，∠AOC＝∠EOC，∠AOD＝∠EOB】

2、用量角器畫(huà)出下列各角的余角：(1) 36°，(2) 65°，(3) 1/5 d? 。

3、用量角器畫(huà)出下列各角的補(bǔ)角：(1) 3/5 d，(2) 125°，(3) [1又2/3] d? 。

[畫(huà)已知角的補(bǔ)角有二個(gè)方法：(1) 先計(jì)算出它的補(bǔ)角的度數(shù)，再畫(huà)出這個(gè)角；(2) 先畫(huà)出已知角，再延長(zhǎng)它的一邊]

4、一個(gè)角比它的余角大 20°15'，求這個(gè)角的度數(shù)。?【55°7′30″】

5、附圖中 ∠AOC＝∠BOD＝90°，又∠AOB:∠BOC＝13:32，求∠COD的度數(shù)。[提示：仿照習(xí)題1-8第5題先求出∠AOB]【26°】

6、一個(gè)角是它的補(bǔ)角的 3 倍，求這個(gè)角?！?35°】

7、如圖中三直線相交于點(diǎn)，已知 ∠1＝96°，∠5＝70°，求 ∠2，∠3，∠4 和 ∠6 各角的度數(shù)?！尽?＝70°，∠3＝14°，∠4＝96°，∠6＝14°】

8、兩個(gè)角的度數(shù)的比為 7:3，它們的角度差是 72°，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角嗎？【是】

9、如圖中 AB 是直線，∠1＝∠3，則 ∠2＝∠4，為什么？【等角的補(bǔ)角相等】

10、直線 EF 截 AB 和 CD 成8個(gè)角，哪幾對(duì)角是對(duì)頂角？如果已知 ∠2＝70°，∠5＝106°，求其余各角的度數(shù)（圖如上）?！尽? 和 ∠3，∠2 和 ∠4，∠5 和 ∠7，∠6 和 ∠8 是對(duì)頂角，又 ∠1＝110°，∠3＝110°，∠4＝70°，∠6＝74°，∠7＝106°，∠8＝74°】

11、如附圖，直線 AD 和 BC 相交于點(diǎn) O，∠AOB 和 ∠COD 的和等于 225°，求∠AOC? ?！?7°30′】

*12、附圖中 AB 是一直線，OP 是 ∠BOC 的平分線，OQ 是 ∠COA 的平分線，那末 ∠POQ 是一個(gè)直角，為什么？

*13、直線EF截AB和CD成 8 個(gè)角，已知 ∠3 等于 ∠5，則 ∠1＋∠8＝2d，為什么？