【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)48】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個向量的向量積，再作所得向量與第三個向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個雙重向量積；
性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a.
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。
矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng)?編著）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——
試求下述（和式）數(shù)列{an}的極限lim an：an=（1^n+2^n+……+n^n）^（1/n）/n.
解：
1=（n^n）^（1/n）/n<an<（n*n^n）^（1/n）/n；
lim（n*n^n）^（1/n）/n=lim[n^（1/n）][（n^n）^（1/n）]/n=1；
由夾逼準(zhǔn)則：lim an=1.
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——
對于任意四個向量a，b，c，d，試證
b（a，c，d）-a（b，c，d）+d（c，a，b）-c（d，a，b）=0.
證：
四個三維向量必線性相關(guān)，故不妨設(shè)d=λa+μb+νc；
b（a，c，d）-a（b，c，d）+d（c，a，b）-c（d，a，b）
=b（a，c，（λa+μb+νc））-a（b，c，（λa+μb+νc））+（λa+μb+νc）（c，a，b）-c（（λa+μb+νc），a，b）
=b（a，c，μb）-a（b，c，λa）+（λa+μb+νc）（c，a，b）-c（νc，a，b）
=μb（a，c，b）-λa（a，b，c）+（λa+μb+νc）（a，b，c）-νc（a，b，c）
=（-μb-λa+（λa+μb+νc）-νc）（a，b，c）
=0（a，b，c）
=0，證畢。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
證明：可逆的斜對稱矩陣的逆矩陣仍是斜對稱矩陣。
證：設(shè)A是可逆的斜對稱矩陣，則（A^（-1））'=（A'）^（-1）=（-A）^（-1）=-A^（-1），因此A^（-1）是斜對稱矩陣。
到這里！
