算術(shù)-幾何均值不等式怎么證明

2023-08-12 15:34 作者:格心致力 0人讀過 | 我要投稿

求證： $%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%5Cgeq%5Csqrt%7Bab%7D$ ? ?（當(dāng)且僅當(dāng) $a%3Db$ 時(shí)取等號）

證明：方法一（平方的非負(fù)性）:

易知

$%5Cleft(%5Csqrt%7Ba%7D-%5Csqrt%7Bb%7D%5Cright)%5E2%5Cgeq0$ ?（當(dāng)且僅當(dāng) $a%3Db$ 時(shí)取等號）

展開整理得

$%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%5Cgeq%5Csqrt%7Bab%7D$ （當(dāng)且僅當(dāng) $a%3Db$ 時(shí)取等號）

方法二（合二為一）:

令

$t%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D$

則原不等式可化為

$t%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%5Cgeq2$

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知上式成立

因而命題得證。

標(biāo)簽：

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