先從沖擊函數(shù)的定義開始：

我們注意到，沖擊函數(shù)的這些性質(zhì)，都有一個(gè)前提，那就是時(shí)間域是從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮。

再看沖擊函數(shù)的頻譜：

同樣，沖激函數(shù)頻譜等于1，也是以時(shí)間域從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮為前提。

再看正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的頻譜：

我們看到，正弦余弦函數(shù)的頻譜，在以整個(gè)時(shí)間域?yàn)榍疤徇M(jìn)行積分以后，他們的頻譜都是沖擊函數(shù)。這也是我們?cè)陬l譜圖上看到一根根豎線的原因，因?yàn)榘凑崭道锶~級(jí)數(shù)分解的原理，函數(shù)都可以分解為一個(gè)個(gè)正弦波之和。

但在實(shí)際中進(jìn)行頻譜分析的時(shí)候，時(shí)間域不可能是無(wú)窮大，比如：

在上面無(wú)窮長(zhǎng)的信號(hào)序列里面，截取中間那一部分進(jìn)行分析，這個(gè)時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)所謂的頻譜泄露，原因在于積分的時(shí)間域變成了有限，假設(shè)是【-T,T】,以圖1中余弦函數(shù)頻譜推導(dǎo)中的

部分進(jìn)行推導(dǎo)如下：

我們看到，其結(jié)果其實(shí)是一個(gè)sinc函數(shù)：

我們知道，當(dāng)x趨于0時(shí)，sinc函數(shù)的極限為1，其圖像如下：

所以，圖2中的推導(dǎo)結(jié)果表明，w在趨近于w0的時(shí)候，其取值最大，但在w0附近的時(shí)候，也會(huì)逐漸增大，也就是說(shuō)，本該像圖1中的一個(gè)沖擊序列，變成了圖3中的鐘形函數(shù)，意味著中間頻率點(diǎn)w0的信號(hào)能量，泄露給了它附近的頻率點(diǎn)。

再以一個(gè)實(shí)例說(shuō)明：

f(t)=sin(2*pi*t)+0.8*sin(6*pi*t)+0.6*sin(8*pi*t)

我們看到，每一個(gè)正弦波在頻譜圖中都產(chǎn)生了一根豎線，但在頻率點(diǎn)1hz、3hz和4hz附近確實(shí)存在著頻譜泄露的現(xiàn)象。

總結(jié)如下：

1：正弦余弦函數(shù)的傅里葉變換結(jié)果，表示的是在頻譜圖上，它們會(huì)在自己的頻率點(diǎn)上產(chǎn)生一根豎線（沖擊序列）。

2：頻譜泄露產(chǎn)生的原因在于時(shí)間域由理論上的無(wú)限變成了實(shí)踐中的有限。