對(duì)近期做的幾道題的點(diǎn)評(píng)

2023-10-14 17:47 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過 | 我要投稿

今天稍微有些空閑，于是來回做一下高中題來找自信了[doge]由于評(píng)論區(qū)空白太小寫不下，所以以下幾題作為在答區(qū)給出的解法后的拓展

例(1)：

【24例60】黃岡市2024屆高三九月調(diào)考11節(jié)選，數(shù)列易錯(cuò)題

后面經(jīng)過細(xì)心的網(wǎng)友發(fā)現(xiàn)，原題存在歧義，這里對(duì)條件多加一個(gè)限制才嚴(yán)謹(jǐn)： $a_%7Bn%2B1%7D%2Ba_n%5Cne%200$

由于視頻中寫了詳細(xì)過程，這里就點(diǎn)下思路即可

給條件的n換為n+1，然后兩式相減利用 $a_%7Bn%2B1%7D%3DS_%7Bn%2B1%7D-S_n$ 消去Sn

(這是條件中同時(shí)含有an和Sn時(shí)的常規(guī)思路了)

快進(jìn)到

$a_1%3D19%2Ca_%7Bn%2B1%7D-a_n%3D-2~%5Ctext%7Bor%7D~%20a_%7Bn%2B1%7D%2Ba_n%3D%200%5Ctext%7B(%E8%88%8D)%7D$

于是 $%5Cleft%20%5C%7B%20a_n%20%5Cright%20%5C%7D%20$ 是首項(xiàng)為19，公差為-2的等差數(shù)列

則 $a_n%3D19-2(n-1)%3D-2n%2B21$

答區(qū)已經(jīng)給出了簡(jiǎn)潔的寫法(也就是直接判斷bn的正負(fù))，這多作一個(gè)拓展

ps:不是為了復(fù)雜化解決上面的問題，而是同一題可以有不同的提問，遇到相同類似的題可以進(jìn)行拓展

就是對(duì)于這種連續(xù)等差的乘積項(xiàng)，其求和式也是初等的，給出以下幾個(gè)模型以及證明

模型一：連續(xù)等差項(xiàng)相乘型

記 $%5Cleft%20%5C%7B%20%20a_n%5Cright%20%5C%7D%20$ 為等差數(shù)列， $b_n%3Da_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7D...a_%7Bn%2Bk%7D$

則有：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26b_%7Bn%2B1%7D-b_n%5C%5C%0A%3D%26%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Ba_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7Da_%7Bn%2B3%7D...a_%7Bn%2Bk%7D%7D%7D%20a_%7Bn%2Bk%2B1%7D-a_%7Bn%7D%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Ba_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7D...a_%7Bn%2Bk-1%7Da_%7Bn%2Bk%7D%7D%7D%20%5C%5C%0A%3D%26(a_%7Bn%2Bk%2B1%7D-a_n)(%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Ba_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7Da_%7Bn%2B3%7D...a_%7Bn%2Bk%7D%7D%7D%20)%5C%5C%0A%3D%26(k%2B1)d(a_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7Da_%7Bn%2B3%7D...a_%7Bn%2Bk%7D)%0A%5Cend%7Balign%7D$

整理得：

$c_n%3Da_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7Da_%7Bn%2B3%7D...a_%7Bn%2Bk%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B(k%2B1)d%7D(b_%7Bn%2B1%7D-b_n)%20$

那么這個(gè)新數(shù)列cn就可以用裂項(xiàng)相消了。觀察其形式可知，其比bn少了個(gè)an，比b(n+1)少了個(gè)a(n+k+1)，因此對(duì)于這種等差連乘型的數(shù)列求和，關(guān)鍵步驟就是往最左/最右各多找一項(xiàng)，然后構(gòu)造裂項(xiàng)即可

回到該題， $b_n%3D%20(-2n%2B21)(-2n%2B19)(-2n%2B17)$

令 $c_n%3D(-2n%2B23)(-2n%2B21)(-2n%2B19)(-2n%2B17)$

則有：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26c_%7Bn%2B1%7D-c_n%5C%5C%0A%3D%26%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B(-2n%2B21)(-2n%2B19)(-2n%2B17)%7D%7D%20(-2n%2B15)%5C%5C%0A-%26(-2n%2B23)%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B(-2n%2B21)(-2n%2B19)(-2n%2B17)%7D%7D%20%5C%5C%0A%3D%26-8%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B(-2n%2B21)(-2n%2B19)(-2n%2B17)%7D%7D%20%5C%5C%0A%3D%26-8b_n%20%0A%5Cend%7Balign%7D$

于是

$b_n%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%20(c_%7Bn%2B1%7D-c_n)$

兩邊求和得：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AT_n%26%3Dc_%7Bn%2B1%7D-c_1%5C%5C%0A%26%3D%5Cbbox%5B%23CFF%2C5px%5D%7B(-2n%2B21)(-2n%2B19)(-2n%2B17)(-2n%2B15)%7D%5C%5C%0A%26%5Cbbox%5B%23CFF%2C5px%5D%7B-21%5Ctimes%2019%5Ctimes%2017%5Ctimes%2015%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$

附上一道練習(xí)題：

第二問答案:(4n3+6n2-n)/3

再進(jìn)一步拓展，如果是多項(xiàng)式型數(shù)列的求和，其有一般方法，可自行搜索"自然數(shù)等冪和問題"

模型二：連續(xù)等差項(xiàng)相乘取倒數(shù)型

記 $%5Cleft%20%5C%7B%20%20a_n%5Cright%20%5C%7D%20$ 為等差數(shù)列， $b_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7D...a_%7Bn%2Bk%7D%7D%20$

則

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26b_%7Bn%2B1%7D-b_n%5C%5C%0A%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%7B%20a_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7D...a_%7Bn%2Bk%7D%7D%7D%20a_%7Bn%2Bk%2B1%7D%7D%20%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7Ba_%7Bn%2B1%7D...a_%7Bn%2Bk-1%7Da_%7Bn%2Bk%7D%7D%7D%20%20%7D%20%5C%5C%0A%3D%26%5Cfrac%7Ba_n-a_%7Bn%2Bk%2B1%7D%7D%7B%7B%20a_na_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7D...a_%7Bn%2Bk%7D%7D%20a_%7Bn%2Bk%2B1%7D%7D%20%5C%5C%0A%3D%26%5Cfrac%7B-(k%2B1)d%7D%7B%7B%20a_na_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7D...a_%7Bn%2Bk%7D%7D%20a_%7Bn%2Bk%2B1%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$

整理得：

$c_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%20a_na_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B2%7D...a_%7Bn%2Bk%7D%7D%20a_%7Bn%2Bk%2B1%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B-(k%2B1)d%7D%20(b_%7Bn%2B1%7D-b_n)$

那么這個(gè)新數(shù)列cn就可以用裂項(xiàng)相消了。觀察其形式可知，其分母比bn多了個(gè)a(n+k+1)；其分母b(n+1)少了個(gè)an，因此對(duì)于這種等差連乘取倒數(shù)型的數(shù)列求和，關(guān)鍵步驟就是往最左/最右各多去一項(xiàng)，然后構(gòu)造裂項(xiàng)即可

例子：求 $a_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B(2n%2B1)(2n%2B3)(2n%2B5)%7D%20$ 的前n項(xiàng)和 $S_n$

令 $b_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B(2n%2B1)(2n%2B3)%7D%20$ ，則有：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26b_%7Bn%2B1%7D-b_n%5C%5C%0A%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B(2n%2B3)(2n%2B5)%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B(2n%2B1)(2n%2B3)%7D%5C%5C%0A%3D%26%20%5Cfrac%7B-4%7D%7B(2n%2B1)(2n%2B3)(2n%2B5)%7D%5C%5C%0A%3D%26-4a_n%0A%5Cend%7Balign%7D$

整理得： $a_n%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(b_%7Bn%2B1%7D-b_n)%20$

求和得：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AS_n%26%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(b_%7Bn%2B1%7D-b_1)%5C%5C%0A%26%3D%5Cbbox%5B%23CFF%2C5px%5D%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B(2n%2B3)(2n%2B5)%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B15%7D%20%5D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$

例子的話去年的一張金太陽模擬(摸底考)卷考到了，但是不太記得線索所以沒搜到就不貼了，總之這裂項(xiàng)在試卷上考到過。還有一道題是結(jié)合“萊布尼茲三角形”來考的，那張?jiān)嚲砉烙?jì)早就扔了[doge]

在此基礎(chǔ)上，我又回憶起有一道高考題就用到了這種裂項(xiàng)

相當(dāng)于是對(duì)巴塞爾問題上確界π2/6的估計(jì)。放縮這一步就又是重點(diǎn)了，由于篇幅原因就先不作講解了，先當(dāng)練習(xí)~

還有一道是三角函數(shù)的小題~

【每日一題】當(dāng)三角函數(shù)單調(diào)時(shí)，ω的取值范圍

這題up主是用局部圖(也就是直接用f(x)的圖)來做的，還用了求導(dǎo)，未免顯得麻煩了些，因此這里給出更常用的換元法來做

令 $t%3D%5Comega%20x-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ ，則需函數(shù) $y%3D%5Csin%20t$ 在 $t%5Cin%20(-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D)$ 上單調(diào)

ps:這是由于復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的"同增異減"，內(nèi)層函數(shù) $t%3D%5Comega%20x-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ 在 $x%5Cin%20(-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D)$ 時(shí)單增，因此外層函數(shù) $y%3D%5Csin%20t$ 需在 $t%5Cin%20(-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D)$ 上單調(diào)

因此下面畫出 $y%3D%5Csin%20t$ 的圖像進(jìn)行討論：

作出直觀的圖后，就可以以一種"動(dòng)態(tài)思想"去分析問題了

當(dāng) $%5Comega$ 由0開始增大時(shí)，區(qū)間左端點(diǎn) $-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ 由 $-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ 開始向左運(yùn)動(dòng)；

而區(qū)間右端點(diǎn) $%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ 由 $-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ 開始向右運(yùn)動(dòng)；

因此 $-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ 這就在區(qū)間里面，那么只能是 $t%5Cin%20%5B-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%5D$ 這個(gè)遞增區(qū)間了

于是有 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%5Cgeqslant%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%5CRightarrow%20%5Comega%20%5Cleqslant%201$

即 $%20%5Comega%20$ 的取值范圍為： $(0%2C1%5D$

好了，加大一下難度，那么這道題我把題干區(qū)間改為 $x%5Cin%20(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D)$ 單調(diào)，那么該怎么做呢？

方法是一樣的，依舊是換元

令 $t%3D%5Comega%20x-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ ，則需函數(shù) $y%3D%5Csin%20t$ 在 $t%5Cin%20(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D)$ 上單調(diào)

當(dāng) $%5Comega$ 由0開始增大時(shí)，區(qū)間左端點(diǎn) $%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ 由 $-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ 開始向右運(yùn)動(dòng)；

而區(qū)間右端點(diǎn) $%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ 由 $-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ 開始向右運(yùn)動(dòng)；

這里就跟上一題有些區(qū)間，也是增加了難度的地方：上一題中兩端點(diǎn)是異向運(yùn)動(dòng)的(一個(gè)向左移另一個(gè)向右移)；而這一題兩端點(diǎn)是同向運(yùn)動(dòng)的(這里兩個(gè)端點(diǎn)都向右移，且右端點(diǎn)移動(dòng)幅度更大，這是由于 $%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%3E%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D$ )

因此這里就會(huì)出現(xiàn)多種情況需要分類討論，如：

區(qū)間 $(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D)%0A%5Csubseteq%20(-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2C%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D)$ ：

區(qū)間 $(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D)%0A%5Csubseteq%20(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2C%20%5Cfrac%7B3%5Cpi%20%7D%7B2%7D)$ ：

區(qū)間 $(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D)%0A%5Csubseteq%20(%5Cfrac%7B3%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2C%20%5Cfrac%7B5%5Cpi%20%7D%7B2%7D)$ ：

以此類推，需要進(jìn)行多輪的討論

而情況不是無數(shù)的，因?yàn)閮啥它c(diǎn)在向右運(yùn)動(dòng)的過程中，由于起點(diǎn)均為 $-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ ，而右端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度始終比左端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度大(即 $%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%3E%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D$ )，因此區(qū)間長(zhǎng)度也在增大，當(dāng) $%5Comega%20$ 充分大時(shí)，區(qū)間長(zhǎng)度>半個(gè)周期(即 $%5Cboxed%7B(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D)-(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D)%3E%5Cpi%7D%20$ )，那么隨后這個(gè)區(qū)間就無法再含于任何一個(gè)單調(diào)區(qū)間

也即上面方框框住的這個(gè)式子是其中一個(gè)必要條件

當(dāng)然這個(gè)也可以不需要解，后面的分類解不等式時(shí)會(huì)包含于此，下面的步驟才是關(guān)鍵的：

通過前面的數(shù)形結(jié)合分析知，第一種情況是 $(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D)%0A%5Csubseteq%20(-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2C%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D)$ ，那么這時(shí)就需要滿足： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%5Cgeqslant%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%5Cstackrel%7B%5Comega%20%3E0%7D%7B%5CLongrightarrow%20%7D%20%5Comega%5Cin%20(0%2C6%5D$

第二種情況是 $(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%20%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D)%0A%5Csubseteq%20(%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2C%20%5Cfrac%7B3%5Cpi%20%7D%7B2%7D)$ ，那么這時(shí)就需要滿足： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B3%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%5Cgeqslant%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%5CLongrightarrow%20%5Comega%5Cin%20%5B%5Cfrac%7B20%7D%7B3%7D%2C15%5D$

...以此類推，我們發(fā)現(xiàn)解不等式的步驟是一樣的，因此我們可以先概括單調(diào)區(qū)間的一般形式：

$(-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2Bk%5Cpi%20%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2Bk%5Cpi%20%20)%2Ck%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D$

ps:至于k取負(fù)整數(shù)的情況就無需考慮了，因?yàn)閮啥它c(diǎn)都是由 $-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D$ 開始向右運(yùn)動(dòng)，因此在區(qū)間 $(-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D)$ 左邊的區(qū)間就到不了無需考慮了

當(dāng) $t%5Cin%20(-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2Bk%5Cpi%20%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2Bk%5Cpi%20%20)%2Ck%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D$ 時(shí)，分別需滿足：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B9%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%5Cleqslant%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2Bk%5Cpi%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B10%7D%5Comega%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B6%7D%5Cgeqslant%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2Bk%5Cpi%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%5CLongrightarrow%20%0A%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20%7B%5Comega%5Cin%20%5B-%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%2B10k%20%20%2C6%2B9k%20%5D%7D%7D%20$

也即取特定的k(讓區(qū)間屬于其中一個(gè)單調(diào)區(qū)間)時(shí)對(duì)應(yīng)的ω的取值范圍

要保證區(qū)間非空，則需 $-%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%2B10k%20%3C6%2B9k%5CRightarrow%20%20k%3C%5Cfrac%7B28%7D%7B3%7D%20$

該范圍內(nèi)的自然數(shù)解有：0,1,2,3,...,9

于是分別討論(將此時(shí)的k代入上面標(biāo)藍(lán)的那個(gè)區(qū)間中)，最后再并起來，即有：

(1)當(dāng)k=0時(shí)， $%5Comega%5Cin%20(0%2C6%5D$ ；

(2)當(dāng)k=1時(shí)， $%5Comega%5Cin%5B%5Cfrac%7B20%7D%7B3%7D%2C15%5D$ ；

....

(10)當(dāng)k=9時(shí)， $%5Comega%5Cin%20%5B%5Cfrac%7B260%7D%7B3%7D%2C87%5D$ ；

綜上，ω的取值范圍為：

$%5Cbbox%5B%23CFF%2C5px%5D%7B%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26(0%2C6%5D%5Ccup%20%5B%5Cfrac%7B20%7D%7B3%7D%2C15%5D%5Ccup%5B%5Cfrac%7B50%7D%7B3%7D%2C24%5D%5Ccup%5B%5Cfrac%7B80%7D%7B3%7D%2C33%5D%5Ccup%5B%5Cfrac%7B110%7D%7B3%7D%2C42%5D%5C%5C%0A%26%5Ccup%5B%5Cfrac%7B140%7D%7B3%7D%2C51%5D%5Ccup%5B%5Cfrac%7B170%7D%7B3%7D%2C60%5D%5Ccup%5B%5Cfrac%7B200%7D%7B3%7D%2C69%5D%5Ccup%5B%5Cfrac%7B230%7D%7B3%7D%2C78%5D%5Ccup%5B%5Cfrac%7B260%7D%7B3%7D%2C87%5D%0A%5Cend%7Balign%7D%7D$

這題出的情況有些多哈哈，怪出題時(shí)沒有"題德"(具體可以修改題目讓原區(qū)間間隔寬些，討論的次數(shù)就會(huì)少些)，但掌握思路是必須的。

然后這里有必要給大家一些小提醒，就是上面篇幅較長(zhǎng)，主觀上會(huì)讓人覺得沒有想看下去的欲望(bushi)，而實(shí)際上的書寫過程就幾行而已。另一方面而言，這是對(duì)分析的詳細(xì)分析，帶讀者一步步進(jìn)行梳理，我覺得既然是講題，那么我認(rèn)為把思路一步步講清楚是前提，在此前提下再進(jìn)行高度濃縮，因此“言簡(jiǎn)意賅”并不是很容易達(dá)到的程度

附上一道思考題：

這是以前一位網(wǎng)友問的一道難題，跟此類題相關(guān)所以拿出來分享了

結(jié)合上面的思路，這里就只給出關(guān)鍵步驟了：

令 $t%3D%5Comega%20x%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20$ ，則需 $y%3D%5Csin%20t$ 在 $t%5Cin%20%5B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%5Comega%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%2C%20%5Cpi%20%5Comega%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%5D$ 上有3個(gè)零點(diǎn)

則 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A0%2Bk%5Cpi%20%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%5Comega%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%5Cleqslant%20%5Cpi%2Bk%5Cpi%20%20%20%5C%5C%0A3%5Cpi%2Bk%5Cpi%20%5Cleqslant%5Cpi%20%5Comega%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%3C4%5Cpi%20%2Bk%5Cpi%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%2Ck%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D$

(即包含 $(k%2B1)%5Cpi%20%2C(k%2B2)%5Cpi%20%2C(k%2B3)%5Cpi%20$ )

ps:這里要留意不等號(hào)能否帶等的問題，要使得區(qū)間嚴(yán)格包含相鄰的3個(gè)零點(diǎn)(不少也不多)

解得： $%5Cbbox%5B%23CFF%2C5px%5D%7B%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A3k-1%20%3C%5Comega%20%5Cleqslant%202%2B3k%20%20%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%2Bk%20%5Cleqslant%20%5Comega%3C%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D%20%2Bk%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%7D$

要讓其解集非空(即二者有交集)，則需：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A3k-1%3C%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D%2Bk%20%20%5C%5C%0A2%2B3k%5Cgeqslant%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%2Bk%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%5CRightarrow%20%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cleqslant%20k%3C%5Cfrac%7B7%7D%7B3%7D%20$

此范圍內(nèi)的自然數(shù)解有：k=1,2

當(dāng)k=1時(shí)，解集為： $%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D%20%5Cleqslant%20%5Comega%20%3C%5Cfrac%7B14%7D%7B3%7D%20$ ；

當(dāng)k=2時(shí)，解集為： $5%20%3C%5Comega%20%3C%5Cfrac%7B17%7D%7B3%7D%20$

綜上，ω的取值范圍為： $%5Cbbox%5B%23CFF%2C5px%5D%7B%5B%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D%20%2C%5Cfrac%7B14%7D%7B3%7D%20)%5Ccup%20(5%2C%5Cfrac%7B17%7D%7B3%7D%20)%7D$

故選C

這是在三角函數(shù)小題里比較難的一道題了，但如果嚴(yán)格按上面的分析流程走，每一步都認(rèn)真完成也能完美地做出來。我認(rèn)為這類題分析的關(guān)鍵在于畫出整體圖后對(duì)區(qū)間端點(diǎn)的討論(要以動(dòng)態(tài)思想去分析區(qū)間的變化(端點(diǎn)左移還是右移))

正如數(shù)學(xué)家華羅庚所言："數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休。"

標(biāo)簽：

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對(duì)近期做的幾道題的點(diǎn)評(píng)

例(1)：

模型一：連續(xù)等差項(xiàng)相乘型

模型二：連續(xù)等差項(xiàng)相乘取倒數(shù)型