歐幾里得29、歐多克斯給出的比例新定義，為何能消除幾何上的危機(jī)？

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“‘正方形邊長為1時(shí)，對角線長多少？’，這個(gè)問題出現(xiàn)后，不僅在算術(shù)上引發(fā)危機(jī)（無法用整數(shù)或分?jǐn)?shù)將邊長1的正方形的對角線長度表示出來），也在幾何上引發(fā)了危機(jī)，”中學(xué)生說，“曾有一段時(shí)間，人們不知道‘邊長1的正方形的對角線’是什么。”

…算：見《歐幾里得28》…

…術(shù)：《說文解字》：“術(shù)，邑（yì）中道也。從行、術(shù)聲?！贝蟮乐}絡(luò)是術(shù)的意思。

形聲。從行，術(shù)聲。行，甲骨文中指道路。本義：城邑中的道路。

衍（yǎn）義：方法、謀略之路數(shù)。如：戰(zhàn)術(shù)、權(quán)術(shù)、心術(shù)。

衍義：引申指“技藝”的套路。如：技術(shù)、藝術(shù)、武術(shù)、學(xué)術(shù)、不學(xué)無術(shù)。

字義：1.技藝：技～。藝～。武～。學(xué)～。不學(xué)無～。

2.方法：戰(zhàn)～。權(quán)～。心～。

3.古代城市中的道路…

[…形聲：一種造字法…是說字由“形”和“聲”兩部分合成，形旁和全字的意義有關(guān)，聲旁和全字的讀音有關(guān)。如由形旁“氵（水）”和聲旁“工、可”分別合成“江、河”…]

…衍、義、衍義：見《歐幾里得25、26》…

…

…算術(shù)（百度百科）：算術(shù)是數(shù)學(xué)中最古老、最基礎(chǔ)和最初等的部分，它研究數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算。

把數(shù)和數(shù)的性質(zhì)、數(shù)和數(shù)之間的四則運(yùn)算在應(yīng)用過程中的經(jīng)驗(yàn)累積起來，并加以整理，就形成了最古老的一門數(shù)學(xué)——算術(shù)。

在古代，全部數(shù)學(xué)就叫做算術(shù)。現(xiàn)代的代數(shù)、數(shù)論等最初就是由算術(shù)發(fā)展起來的。

后來，算學(xué)、數(shù)學(xué)的概念出現(xiàn)了，它代替了算術(shù)的含義，包括了全部數(shù)學(xué)，算術(shù)就變成了其中的一個(gè)分支…

…算術(shù)（百度漢語）2：數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最初等的部分。主要研究零和正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)的記數(shù)法，在加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算下產(chǎn)生的數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則以及在社會實(shí)踐中的應(yīng)用…

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“按‘萬物皆數(shù)’理論（見《歐幾里得20》），這個(gè)對角線是數(shù)，但是…人們無法用數(shù)將它表示出來，”中學(xué)生接著說，“人們也無法從幾何角度，解釋‘邊長1的正方形的對角線’是什么。”

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“歐多克斯的比例新定義出現(xiàn)后，人們知道了：正方形的對角線…它的長度和邊長成比例…它是比例當(dāng)中的一個(gè)變量…”中學(xué)生繼續(xù)說，“人們能從幾何角度，解釋‘邊長1的正方形的對角線’了?！?/p>

…比：兩個(gè)同類量之間的倍數(shù)關(guān)系，叫做它們的比，其中一數(shù)是另一數(shù)的幾倍或幾分之幾：這里的小麥年產(chǎn)量和水稻年產(chǎn)量約為一～四…見《歐幾里得27》…

…例：《說文解字》：“例，比也。從人、列聲?！?。用來作為比較的參照物是例的意思。

本義：是可以作為樣板參照依據(jù)的事物。如：例證、例題、舉例、例句、例如。

衍義：可以或必須照著去做的規(guī)定。如：例外（不按規(guī)定的，和一般情況不同的）、體例、凡例、條例、破例。

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形聲。從人，列聲。本義：比照。

字義：1.用來說明情況的或可作依據(jù)的事物：舉～。援～。

2.規(guī)則：條～。

3.按條例規(guī)定的；照成規(guī)進(jìn)行的：～會?！泄隆?/p>

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…比例：在數(shù)學(xué)中，表示兩個(gè)或多個(gè)比相等的式子。

詞義：1.數(shù)量之間的對比關(guān)系。

2.指一種事物在整體中所占的分量…

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…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

…變（繁體為“變”）：形聲。從絲、從言、從攴（pū）。絲本義是樂器，攴是手。變字本義：彈琴時(shí)手指在不同琴弦間移動。

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大家知道，一個(gè)善于彈奏出美妙曲子的人，一定是善于變化的，不會一直單調(diào)地?fù)軇油桓傧摇?/p>

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大家可以看圖，變字的演變。原本是上面三根絲，下面一只手；后來中間的絲演變?yōu)檠裕赡芤馕吨厪椷叧?、或者邊彈邊說。

這個(gè)字的引申義非常豐富，因?yàn)榻z本身又可以引申為關(guān)系，言也可以引申為口頭承諾。人與人之間的關(guān)系很容易改變，口頭承諾沒有兌現(xiàn)也可以說是變了。

變只是一個(gè)客觀描述，可以變好，也可以變壞，兩人之間的關(guān)系可以從沒關(guān)系變成鐵關(guān)系，也可以從鐵關(guān)系變成敵對關(guān)系。

字義：1.和原來不同；變化；改變：情況～了。～了樣兒。

2.改變（性質(zhì)、狀態(tài)）；變成：沙漠～良田。后進(jìn)～先進(jìn)。

3.使改變：～廢為寶。～農(nóng)業(yè)國為工業(yè)國。

4.能變化的；已變化的：～數(shù)?！珣B(tài)。

5.有重大影響的突然變化：事～?！珌y。

6.變通：通權(quán)達(dá)～…

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…量：見《歐幾里得27》…

…變量（百度百科）：指沒有固定的值，可以改變的數(shù)。

變量以非數(shù)字的符號來表達(dá)，一般用拉丁字母…

…變量（百度漢語）2：在某一運(yùn)動過程中數(shù)值變化的量。如物體運(yùn)動所經(jīng)過的路程是一個(gè)變量…

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

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“在幾何上，人們知道了‘邊長1的正方形的對角線’是什么，”中學(xué)生最后說，“由此，幾何上的危機(jī)得到解決?！?/p>

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“數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線。數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對應(yīng)。

請看下集《歐幾里得30、歐多克斯的證明，數(shù)系，軸、數(shù)軸》”

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