老碧又來(lái)了，這一周咱們給實(shí)數(shù)部分收個(gè)尾，下周正式進(jìn)“極限論”！

你一定會(huì)問(wèn)，有理數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)，咱們不都驗(yàn)證過(guò)了嗎？怎么“實(shí)數(shù)論”還沒(méi)結(jié)束？

這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的基本運(yùn)算除了這些在有理數(shù)以及實(shí)數(shù)范圍內(nèi)依然成立的加減乘除以外，還有一些在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)并不總能進(jìn)行的運(yùn)算。

比如，偶數(shù)次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，或者，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，我們不能對(duì)負(fù)數(shù)取對(duì)數(shù)，等等，要求的都是數(shù)系的進(jìn)一步擴(kuò)充，但是，在高等數(shù)學(xué)或者數(shù)學(xué)分析里面，我們研究的往往是——實(shí)歐式空間上的光滑曲線，對(duì)你沒(méi)有看錯(cuò)，就這么特別！

那么你肯定會(huì)問(wèn)，所以說(shuō)還有，不實(shí)不歐式的空間上的不光滑曲線咯？沒(méi)錯(cuò)哦，而且它們也是數(shù)學(xué)分支的重要組成部分，我們以后有機(jī)會(huì)會(huì)聊到的。

今天我們就來(lái)繼續(xù)介紹，實(shí)數(shù)的根的存在及唯一性——

18根的存在——以有理數(shù)為指數(shù)的冪

書上先定義了在指數(shù)為自然數(shù)時(shí)，什么是實(shí)數(shù)的根的算術(shù)值——

如果對(duì)于正實(shí)數(shù)a，存在一個(gè)正實(shí)數(shù)u，滿足u^n=a，則u為a的n次根。

注：

1. 因?yàn)閷?duì)于數(shù)的偶次根往往存在正負(fù)成對(duì)的根，比如2和-2的平方都是4，所以為了滿足函數(shù)的單值性，約定求根的算術(shù)值；

2. 這里用到了“從特殊到一般”的思想，先討論清楚最簡(jiǎn)單的自然數(shù)次根，有理數(shù)的情況就可以自此導(dǎo)出。

接著便開始驗(yàn)證一個(gè)實(shí)數(shù)算術(shù)平均值的存在性及唯一性。

1.唯一性

因?yàn)閮绲倪\(yùn)算是相同的數(shù)字多次求積的運(yùn)算，積具有單值性，所以u(píng)^n必然是唯一的。

2.存在性

存在性分了兩種情形——

情形一：u為有理數(shù)——

我們知道任何有理數(shù)都有n次冪，所以這些n次冪對(duì)應(yīng)的有理數(shù)就是我們所要求得的根式。

對(duì)于不是有理數(shù)的n次冪求根式我們又用到了“有理數(shù)分劃”這個(gè)工具。

情形二：u不是有理數(shù)——

我們構(gòu)造用a構(gòu)造有理數(shù)分劃——

1. 我們?nèi)∝?fù)有理數(shù)、0 、所有滿足x^n<a的正有理數(shù)x為下組，取x'^n>a的正有理數(shù)為上組；

2. 顯然上下組不為空且包含正數(shù)，假如有一個(gè)自然數(shù)m滿足，1/m<a<m，那么顯然，1/m^n<1/m<a<m<m^n；

3. 顯然對(duì)于所有下組的數(shù)都小于上組的數(shù)，又由排中律可知，在已知a不是有理數(shù)的n次方的前提下，正有理數(shù)x^n要么大于a，要么小于a，所以上下組取遍了所有有理數(shù)，故而，構(gòu)成一個(gè)有理數(shù)分劃，由此產(chǎn)生界數(shù)u；

4. 由有理數(shù)分劃定義，我們知道，給定x0'，總存在x<u<x'<x0'，又因?yàn)閤'與x可以無(wú)限靠近，所以對(duì)于任意小正數(shù)e，都存在x與x'，滿足x'-x<e/nx0'^（n-1）

5. 由3，我們知道，x^n<u^n<x'^n，由1，我們知道，x^n<a<x'^n，由4，因?yàn)閤'^n-x^n=（x‘-x）[x'^（n-1）+x*x’（n-2）+……+x^（n-1）]<[e/nx0'^（n-1）]*[nx0'^（n-1）]=e，所以任意的x^n與x'^n之間只有一個(gè)數(shù)，即u^n=a。

u即為我們所求實(shí)數(shù)。

最后對(duì)有理數(shù)指數(shù)情形下的冪進(jìn)行了一個(gè)簡(jiǎn)要說(shuō)明，以及介紹了冪的運(yùn)算的通常規(guī)則。

比如我們可以先解決1/n次冪的問(wèn)題，顯然即是求n次根，那么對(duì)于任意整數(shù)m，我們就可以繼續(xù)解決m/n次冪，即是求n次冪的m次根，由此，有理數(shù)指數(shù)的冪得到解決。

今天就聊到這里，明天繼續(xù)！