自然數(shù)的等冪和——伯努利數(shù)

2021-12-11 10:03 作者:子瞻Louis 0人讀過 | 我要投稿

高斯幼年時的老師為了刁難學(xué)生，在黑板上寫下了這個式子

$1%2B2%2B3%2B%E2%80%A6%2B100%3D%EF%BC%9F$

這項(xiàng)麻煩的工作讓全班同學(xué)都在為它忙著，但此時高斯脫口而出了答案，等于5050，讓全班同學(xué)都驚呆了

這是一個廣為流傳的故事，經(jīng)過多次修改后產(chǎn)生了許多版本，但事實(shí)上沒人知道高斯當(dāng)時到底是用的什么方法，

不過我們今天不僅僅只解決這一個式子

其實(shí)這個故事之前有一個小插曲，17世紀(jì)時雅各布伯努利(Jacob Bernoulli)他的《猜度術(shù)》中說他能發(fā)現(xiàn)1到1000的十次方之和，這可以在七分半內(nèi)解決，最后的結(jié)果是91409924241424243424241924242500

這時你也許會想：三十二位數(shù)，什么鬼？七分半！手算？

當(dāng)然不可能是手算的，為了弄清楚他的方法，我們進(jìn)入今天的主題

自然數(shù)等冪和

首先我們考慮 $S_1(n)%3D1%2B2%2B%E2%80%A6%2Bn$

找到它的通項(xiàng)，很簡單，將 $S_1(n)$ 重新排列

$S_1(n)%3Dn%2B(n-1)%2B%E2%80%A6%2B1$

$S_1(n)%3D1%2B2%2B%E2%80%A6%2Bn$

兩式相加，其中每一項(xiàng)都等于n+1，且一共n項(xiàng)，即

$2S_1(n)%3Dn(n%2B1)%5CRightarrow%20S_1(n)%3D%5Cfrac12n(n%2B1)$

接下來提升難度

$S_%7B2%7D(n)%3D1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B%E2%80%A6%2Bn%5E2$

要找到它的通項(xiàng)，乍一看有些不知所措，不過我們注意到一次冪的和通項(xiàng)為二次的多項(xiàng)式，不妨從三次方來考慮：

$x%5E3-(x-1)%5E3$

將后面的括號展開

$x%5E3-(x-1)%5E3%3Dx%5E3-x%5E3%2B3x%5E2-3x%2B1$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%3D3x%5E2-3x%2B1$

對x從1加到n，上式變?yōu)?/p>

$n%5E3%3D3S_2(n)-3S_1(n)%2B1$

根據(jù)上面的結(jié)果就能得到

$S_2(n)%3D%5Cfrac13n%5E3%2B%5Cfrac12n%5E2%2B%5Cfrac16n%3D%5Cfrac16n(n%2B1)(2n%2B1)$

接下來難度繼續(xù)增加，

$S_k(n)%3D1%5Ek%2B2%5Ek%2B%E2%80%A6%2Bn%5Ek%3D%5Csum_%7Bu%3D1%7D%5E%7Bn%7Du%5Ek$

沿用二次冪的思路，將

$x%5E%7Bk%2B1%7D-(x-1)%5E%7Bk%2B1%7D$

中的括號用牛頓二項(xiàng)式定理展開

$x%5E%7Bk%2B1%7D-(x-1)%5E%7Bk%2B1%7D%3D%5Csum_%7Bv%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20v%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bk-v%7Dx%5Ev$

其中 $%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20v%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%3D%5Cfrac%7B(k%2B1)!%7D%7Bv!(k%2B1-v)!%7D$ 為二項(xiàng)式系數(shù)，

對x從1加到n，左側(cè)的差分就變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=n%5E%7Bk%2B1%7D" alt="n%5E%7Bk%2B1%7D">，而右邊則可交換求和次序，上式變?yōu)?/p>

$n%5E%7Bk%2B1%7D%3D%5Csum_%7Bv%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20v%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bk-v%7DS_v(n)$

于是，我們可以得到自然數(shù)等冪和的遞推關(guān)系式

$S_k(n)%3D%5Cfrac1%7Bk%2B1%7Dn%5E%7Bk%2B1%7D%2B%5Csum_%7Bv%3D0%7D%5E%7Bk-1%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%20%5C%5C%20v%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cfrac%7B(-1)%5E%7Bk-v%2B1%7D%7D%7Bk-v%2B1%7DS_v(n)$

伯努利數(shù)

由上可知前n個自然數(shù)的k次冪和的通項(xiàng)為一k+1次多項(xiàng)式

不過這個遞推表達(dá)式有些復(fù)雜了，于是我們來試著簡化它一下

不妨來看一看這些多項(xiàng)式中有沒有什么規(guī)律，這里我已經(jīng)計算了 $S_0(n)$ 到 $S_7(n)$

$S_0(n)%3Dn$

$S_1(n)%3D%5Cfrac12n%5E2%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%7D$

$S_2(n)%3D%5Cfrac13n%5E3%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E2%7D%2B%5Cfrac16n$

$S_3(n)%3D%5Cfrac14n%5E4%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E3%7D%2B%5Cfrac14n%5E2%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%7D$

$S_4(n)%3D%5Cfrac15n%5E5%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E4%7D%2B%5Cfrac13n%5E3%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%7D-%5Cfrac1%7B30%7Dn$

$S_5(n)%3D%5Cfrac16n%5E6%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E5%7D%2B%5Cfrac5%7B12%7Dn%5E4%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%5E3%7D-%5Cfrac1%7B12%7Dn%5E2%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%7D$

$S_6(n)%3D%5Cfrac17n%5E7%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E6%7D%2B%5Cfrac12n%5E5%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%5E4%7D-%5Cfrac16n%5E3%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%5E2%7D%2B%5Cfrac1%7B42%7Dn$

$S_7(n)%3D%5Cfrac18n%5E8%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac12n%5E7%7D%2B%5Cfrac7%7B12%7Dn%5E6%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%5E5%7D-%5Cfrac7%7B24%7Dn%5E4%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%5E3%7D%2B%5Cfrac1%7B12%7Dn%5E2%2B%5Ccolor%7Bred%7D%7B0n%7D$

以降冪次排列，當(dāng)中第二列的系數(shù) $%5Cfrac12$ 和后面偶數(shù)列的系數(shù)0格外顯眼，于是我將它標(biāo)上了紅色

首先由前面的結(jié)論我們知道 $S_k(n)$ 最高次項(xiàng)的系數(shù)為 $k%2B1$ ，又大概知道了所有偶數(shù)列的規(guī)律，接下來看第三列，當(dāng)中 $%5Cfrac5%7B12%7D%2C%5Cfrac7%7B12%7D$ 引起了我們注意，于是我們發(fā)現(xiàn)似乎 $S_k(n)$ 第三列系數(shù)的規(guī)律是 $%5Cfrac%20k%7B12%7D$ ，但其他列的規(guī)律就有點(diǎn)不好找了，那么我們來看看Bernoulli的想法吧

Bernoulli猜測自然數(shù)等冪和按降次冪排列的第n列取決于該列第一個數(shù)，后來人們將這些數(shù)命名為伯努利數(shù)（Bernoulli?numbers），這里將第n個伯努利數(shù)記為? $%5Cbeta_n$ ?，且? $%5Cbeta_0%3D1$

嗯，這跟我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律有一丟丟相似，下面我們就從伯努利的思路出發(fā)吧

首先我們應(yīng)該找出一個能夠計算伯努利數(shù)比較方便的式子，根據(jù)

$n%5E%7Bk%2B1%7D%3D%5Csum_%7Bu%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20u%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bk-u%7DS_u(n)$

對n取導(dǎo)數(shù)，可以得到

$kn%5E%7Bk%7D%3D%5Csum_%7Bu%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20u%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bk-u%7DS_u'(n)$

這顯然是一個十分弱智的行為，但如果將n＝0代入， $S_u'(0)$ 其實(shí)就是第u個伯努利數(shù)

$%5Csum_%7Bu%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20u%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bk-u%7D%5Cbeta_u%3D0%20$

$%5CRightarrow%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20n%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bn%7D%5Cbeta_n%3D0$

再根據(jù) $%5Cbeta_0%3D1$ 就能得到伯努利數(shù)的一種計算方法了

有了伯努利數(shù)的計算方法，就可以計算前幾個伯努利數(shù)了，分別是

$%5Cbeta_1%3D%5Cfrac12%2C%5Cbeta_2%3D%5Cfrac16%2C%5Cbeta_3%3D0%2C%5Cbeta_4%3D-%5Cfrac1%7B30%7D%2C%5Cbeta_5%3D0%EF%BC%8C$

$%5Cbeta_6%3D%5Cfrac1%7B42%7D%2C%5Cbeta_7%3D0%2C%5Cbeta_8%3D-%5Cfrac1%7B30%7D%2C%5Cbeta_9%3D0%2C%5Cbeta_%7B10%7D%3D%5Cfrac5%7B66%7D$

對上式求“高階導(dǎo)”并代入n=0亦能得到自然數(shù)等冪和的通項(xiàng)中其他系數(shù)間的關(guān)系

接下來我們回歸主題——等冪和

引入? $S_k(n)$ ?的生成函數(shù)：

$F(n%3Bx)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DS_k(n)%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D$

由于 $S_k(n)$ 的遞推關(guān)系比較復(fù)雜，我們直接將其定義代入

$F(n%3Bx)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5Enm%5Ek%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%3D%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5En%5Ccolor%7Bgreen%7D%7B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B(mx)%5Ek%7D%7Bk!%7D%7D$

注意到其中綠色部分為 $e%5E%7Bmx%7D$ 零點(diǎn)處的Taylor級數(shù)展開，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，有

$F(n%3Bx)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DS_k(n)%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%3De%5Ex%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Be%5Ex-1%7D$

這樣就能用 $F(n%3Bx)$ 來計算 $S_k(n)$ 了：

$S_k(n)%3D%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bd%5Ek%7D%7Bdx%5Ek%7DF(n%3Bx)%3D%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bd%5Ek%7D%7Bdx%5Ek%7D%5Cleft(e%5Ex%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Be%5Ex-1%7D%5Cright)$

當(dāng)然，對這個分式求導(dǎo)是個麻煩的工作，我們來尋找一種更簡便的方法

在生成函數(shù)中對n取“導(dǎo)數(shù)”，并代入n=0

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20n%7DF(0%3Bx)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7DS_k'(0)%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%3D%5Ccolor%7Bblue%7D%7B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta_k%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%3D%5Cfrac%7Bxe%5Ex%7D%7Be%5Ex-1%7D%7D$

于是我們又得到了伯努利數(shù)的生成函數(shù)定義，將它代入到 $S_k(n)$ 的生成函數(shù)中

$F(n%3Bx)%3De%5Ex%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Be%5Ex-1%7D%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Bx%7D%5Ccolor%7Bblue%7D%7B%5Cfrac%7Bxe%5Ex%7D%7Be%5Ex-1%7D%7D%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Bx%7D%5Ccolor%7Bblue%7D%7B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta_k%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%7D$

再將 $%5Cfrac%7Be%5E%7Bnx%7D-1%7D%7Bx%7D$ 在零點(diǎn)處展開為Taylor級數(shù)

$F(n%3Bx)%3D%5Cleft(%5Csum_%7Br%3D0%7D%5E%5Cinfty%20n%5E%7Br%2B1%7D%5Cfrac%7Bx%5Er%7D%7B(r%2B1)!%7D%5Cright)%5Cleft(%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta_k%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%5Cright)$

由柯西乘積公式，可得

$%5Cbegin%7Baligned%7DF(n%3Bx)%26%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Cleft(%5Csum_%7Br%3D0%7D%5Ek%5Cfrac%7B%5Cbeta_rn%5E%7Bk-r%2B1%7D%7D%7B(k%2B1-r)!r!%7D%5Cright)x%5Ek%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%5Csum_%7Br%3D0%7D%5Ek%5Cfrac%7Bk!%5Cbeta_rn%5E%7Bk-r%2B1%7D%7D%7B(k%2B1-r)!r!%7D%5Cright)%7D%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D%5Cend%7Baligned%7D$

對比 $F(n%3Bx)$ 的定義中的系數(shù)，有

$S_k(n)%3D%5Csum_%7Br%3D0%7D%5Ek%5Cfrac%7Bk!%5Cbeta_rn%5E%7Bk-r%2B1%7D%7D%7B(k%2B1-r)!r!%7D%3D%5Cfrac1%7Bk%2B1%7D%5Csum_%7Br%3D0%7D%5Ek%5Cfrac%7B(k%2B1)!%5Cbeta_rn%5E%7Bk-r%2B1%7D%7D%7B(k%2B1-r)!r!%7D$

$%5CRightarrow%20S_k(n)%3D%5Cfrac1%7Bk%2B1%7D%5Csum_%7Br%3D0%7D%5Ek%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20r%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_rn%5E%7Bk-r%2B1%7D$

最終，我們將二維的自然數(shù)等冪和用一維的伯努利數(shù)表示了出來，實(shí)現(xiàn)了“降維打擊”

第二類伯努利數(shù)

前面所介紹的是第一類伯努利數(shù)（也叫“原始的伯努利數(shù)”）

在上面的公式中，令n=1，因 $S_k(1)%3D1$ ，有

$%5Csum_%7Br%3D0%7D%5E%7Bk%2B1%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20r%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_r%3D1%2B%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_1%2B%E2%80%A6%2B%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_k%3Dk%2B1$

取k為任一大于1的奇數(shù)，又有

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20n%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)(-1)%5E%7Bn%7D%5Cbeta_n%3D1-%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_1%2B%E2%80%A6-%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_k%3D0$

將兩式作差，偶數(shù)項(xiàng)就全被減掉了，

$2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_1%2B2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%203%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_3%2B%E2%80%A6%2B2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_k%3Dk%2B1$

我們已經(jīng)計算了 $%5Cbeta_1%3D%5Cfrac12$ ，則

$2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_1%3D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%201%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%3Dk%2B1$

代入到上式中，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bk%2B1%7D%2B2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%203%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_3%2B%E2%80%A6%2B2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_k%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7Bk%2B1%7D$

$%5CRightarrow2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%203%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_3%2B%E2%80%A6%2B2%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20k%2B1%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%5Cbeta_k%3D0$

因?yàn)樗?strong>二項(xiàng)式系數(shù)均不為零，又根據(jù)k可取任意大于1的奇數(shù)，我們得到

$%5Cforall%20n%5Cgeq%201%2C%5Cbeta_%7B2n%2B1%7D%3D0$

根據(jù)伯努利數(shù)的生成函數(shù)定義

$%5Cfrac%7Bxe%5Ex%7D%7Be%5Ex-1%7D%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-e%5E%7B-x%7D%7D%3D%5Cfrac%7B-x%7D%7Be%5E%7B-x%7D-1%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cbeta_k%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D$

用 $-x$ 替換 $x$ ，

$%5Cfrac%20x%7Be%5Ex-1%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(-1)%5Ek%5Cbeta_k%5Cfrac%7Bx%5Ek%7D%7Bk!%7D$

當(dāng)中所有偶數(shù)項(xiàng)均與伯努利數(shù)相同，而又由于伯努利數(shù)中除1外所有奇數(shù)項(xiàng)都等于0，所以其實(shí) $%5Cfrac%20x%7Be%5Ex-1%7D$ 與 $%5Cfrac%7Bxe%5Ex%7D%7Be%5Ex-1%7D$ 的Maclaurin級數(shù)展開中只有一次項(xiàng)系數(shù)不同

$B_k%3A%3D(-1)%5Ek%5Cbeta_k$ 就是第二類伯努利數(shù)，只需在第一類伯努利數(shù)中將 $B_1$ 換成 $-%5Cfrac12$ 就可以得到，雖然實(shí)際上它跟第一類伯努利數(shù)就只有一個數(shù)的區(qū)別，但這一個數(shù)的區(qū)別卻使第二類伯努利數(shù)在應(yīng)用中方便許多，因此許多地方用的都是第二類伯努利數(shù)

本期只介紹了Bernoulli numbers的起源——等冪和問題，其實(shí)這只是它的應(yīng)用中的冰山一角，它與Riemann?Zeta函數(shù)偶數(shù)、負(fù)奇數(shù)處的值密切相關(guān)，正切函數(shù)的麥克勞林展開中也有它，此外還有許多地方都能看到它的影子

Bernoulli numbers因此視為數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)列之一

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自然數(shù)的等冪和——伯努利數(shù)

自然數(shù)等冪和

伯努利數(shù)

第二類伯努利數(shù)