上文說(shuō)到,對(duì)于集合問(wèn)題首要的是弄清集合中元素,即運(yùn)用"元素分析法",如果現(xiàn)在有這樣兩個(gè)集合A={1,2,3,4},B={1,2,3,4,5},我們來(lái)看這兩個(gè)集合之間有什么關(guān)系.分析二者的元素可知,A中的每一個(gè)都是B中的元素,像這樣由B中部分元素組成的集合A,我們稱(chēng)為集合B的子集,二者的關(guān)系稱(chēng)為包含關(guān)系,我們說(shuō)A包含于B(或者說(shuō)集合B包含A),這種關(guān)系在課本上有專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示,請(qǐng)大家準(zhǔn)確掌握.我們又知道,部分與全體是一個(gè)相對(duì)的概念,究竟多少算是部分,在這里就需要明確知道,實(shí)際上,集合的這種包含關(guān)系中,部分的上限就是全部,即最大的子集可以是集合本身,也就是說(shuō),我們可以說(shuō)B是B的子集,但這樣一來(lái),這里"子集'中"子"的意義就有些名不符實(shí)了,因?yàn)?#34;子"應(yīng)該是小的意思,這里卻有相等的意義存在,這也是大家容易忽視的地方,要特別小心.為了真正體現(xiàn)出子集中"小"的意義來(lái),我們就在前面的基礎(chǔ)上給出了"真子集"這樣一個(gè)概念,它與子集的唯一區(qū)別就是兩個(gè)集合不能相等,即若A是集合B的真子集,A不但是B的子集,而且A中的元素至少要比B中少一個(gè),也即A≠B.此刻我們也許會(huì)這樣想,既然A中的元素不能和B中一樣多,一定要少于B中的元素,那到底少到什么程度呢?A有一個(gè)元素算是最少的嗎?沒(méi)有算不算最少?A中要是沒(méi)有了元素還是不是集合?說(shuō)實(shí)在的,如果大家能這樣想,這真是十分令人高興的事,因?yàn)檫@也是我們接下來(lái)要著重探討的問(wèn)題.

???一個(gè)集合沒(méi)有元素了,究竟還算不算一個(gè)集合?如果算,那它又是怎樣一個(gè)集合?而且我們感覺(jué),這一點(diǎn)似乎與集合的定義不太一樣.但我們不妨先來(lái)看一看數(shù)字中的'0',如果沒(méi)有0的話,2-2=?這樣的運(yùn)算還能進(jìn)行嗎?為了數(shù)學(xué)運(yùn)算的合理與完備,我們給出了0,于是自然數(shù)有了開(kāi)始,數(shù)軸有了原點(diǎn),相同數(shù)字的減法運(yùn)算有了意義,盡管0也讓我們的除法運(yùn)算有了限制,讓我們的分?jǐn)?shù)需要格外小心分母不能為0,但0的出現(xiàn)的確是十分必要而且絕對(duì)必須的.類(lèi)似地,為了集合理論的完備和合理,我們也給出了一個(gè)特殊的集合:空集.我們把不含任何元素的集合稱(chēng)為空集,用字母Φ表示,跟自然數(shù)集,整數(shù)集一樣,屬于專(zhuān)有的表示方法.這樣沒(méi)有元素的集合就理所當(dāng)然地算一個(gè)集合了,而且是一個(gè)特殊的集合.特殊在哪里?空集是任何集合的子集,空集也是任何非空集合的真子集.今后在許多的問(wèn)題當(dāng)中,空集也是容易被遺忘,但卻是造成題目解答不完整的關(guān)鍵所在.

(2006-09-23 11:29:24)