公切線問題的轉(zhuǎn)化路徑（2019課標(biāo)Ⅱ?qū)?shù)）

2022-10-19 11:17 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2019課標(biāo)Ⅱ，20）已知函數(shù) $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cln%20%20x-%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx-1%7D$ .

（1）討論 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的單調(diào)性，并證明 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 有且僅有兩個零點(diǎn)；

（2）設(shè) $x_0$ 是 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的一個零點(diǎn)，證明曲線 $y%3D%5Cln%20%20x$ 在點(diǎn) $A%5Cleft(%20x_0%2C%5Cln%20%20x_0%20%5Cright)%20$ 處的切線也是曲線 $y%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex$ 的切線.

解：（1） $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的定義域?yàn)?/p>

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C1%20%5Cright)%20%5Ccup%20%5Cleft(%201%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ ，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%7D%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7B1%5Ccdot%20%5Cleft(%20x-1%20%5Cright)%20-%5Cleft(%20x%2B1%20%5Cright)%20%5Ccdot%201%7D%7B%5Cleft(%20x-1%20%5Cright)%20%5E2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cleft(%20x-1%20%5Cright)%20%5E2%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

故 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C1%20%5Cright)%20%7D$ 和 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%201%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ 分別 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$ ，

又因?yàn)?/p>

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%20%5Cright)%7D%20%3D%5Cfrac%7B3-%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E2-1%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D$ ，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%7D%20%5Cright)%7D%20%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D-1%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D$ ；

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Cright)%7D%20%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B1-%5Cmathrm%7Be%7D%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D$ ，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%20%5Cright)%20%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E2-3%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E2-1%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D$ ，

所以 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 僅在 $%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%7D%20%5Cright)%20$ 、 $%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D%2C%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%20%5Cright)%20$ 各存在一個零點(diǎn)，即 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 有且僅有兩個零點(diǎn).

（橫屏觀看）

（2）因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="https://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=x_0" alt="x_0">是 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的零點(diǎn),

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%20%5Cln%20%20x_0%3D%5Cfrac%7Bx_0%2B1%7D%7Bx_0-1%7D%7D$

$%5Cleft(%20%5Cln%20%20x%20%5Cright)%20'%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ ，所以

$y%3D%5Cln%20%20x$ 在 $%5Cleft(%20x_0%2C%5Cln%20%20x_0%20%5Cright)%20$ 處的切線斜率為 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D$

故該點(diǎn)處的切線方程為

$y-%5Cln%20%20x_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%5Cleft(%20x-x_0%20%5Cright)%20$ ，

整理得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7By%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%5Ccdot%20x%2B%5Cln%20%20x_0-1%7D$ .

記該直線為 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bl_1%7D$ .

設(shè)曲線 $y%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex$ 與 $l_1$ 斜率相等的切線為 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bl_2%7D$ ，

設(shè) $l_2$ 與曲線 $y%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex$ 相切于 $%5Cleft(%20x_1%2C%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx_1%7D%20%5Cright)%20$ ，

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%20%5Cright)'%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex" alt="%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%20%5Cright)'%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex">，

故該點(diǎn)處的切線斜率為 $%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx_1%7D$ ，

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx_1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%7D" alt="%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx_1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%7D">，所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_1%3D-%5Cln%20x_0%7D$ .

所以 $%5Cleft(%20x_1%2C%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx_1%7D%20%5Cright)%20$ 即為 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(-%5Cln%20x_0%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%5Cright)%20%7D$ .

因?yàn)?/p>

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09y%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B-%5Cln%20x_0%7D%20%5Cright)%20%2B%5Cln%20x_0-1%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%5Ccdot%20%5Cleft(%20-%5Cfrac%7Bx_0%2B1%7D%7Bx_0-1%7D%20%5Cright)%20%2B%5Cfrac%7Bx_0%2B1%7D%7Bx_0-1%7D-1%5C%5C%0A%09%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$