符號定義：

【01】　集合{}符號

///////////////////////////　zf系統(tǒng)里元素也是集合

集合１?。健 集合２，集合３, ...}

例如　r?。健　{ },　{{ }},　{{ },{{ }}}　}

zf里只有空集和嵌套空集　其它集合均為各種空集的編號

a={ }=1　　b={{ }}={1}=2　　c={　{ },　{{ }}　}={1,2}=3

r={a,b,c}={1,2,3}={　{ },　{{ }},　{{ },{{ }}}　}

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【02】　∈符號

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集合1∈集合2

a∈b　ａ屬于ｂ　集合a是集合b中的一個元素

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其它符號　∪　??。健≈悺∮缮厦?個原始符號用公理推導出

集合論ZFC公理系統(tǒng)

【１】外延公理：

?ａ?ｂ(　?ｔ(?。簟剩帷　。簟剩狻?　→?。幔剑狻?

/////////////////////////　構建等號?。?/p>

（t屬于a　當且僅當　t屬于b）　所以　a＝b

ｔ在ａ中　綁定?。粼冢庵小　tａ和ｂ的元素相同

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【２】空集存在公理：

?ｒ?ａ(　ａ?ｒ　)

/////////////////////////　r＝?　構建空集

對于所有可能的a　a全都不屬于r　r存在

所以r只能是空集

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【３】無序對集存在公理：

?ａ?ｂ?ｒ?ｔ(?。簟剩颉　?　ｔ=ａ　∨?。?ｂ　)　)

/////////////////////////　構建不超過二元的無序集

(　存在r 以t為元素　)　當且僅當　(　t是a或者b　)

t在r里面　且只能ab二選一　r當然只有2個元素

其中　r={a,b}　二元集合

一元：a=b時　r={a}

拿到上面新做好的空集?

假設1　a=b=?　　　　　　　r1={a}={?}

假設2　a=?　　b= r１={?}　　r２={a,b}={?,{?}}

重復1可得無數(shù)個一元集合　{?}　{{?}}　{{{?}}}　.....

重復2可得無數(shù)個二元集合　{ ?,{?,{?}} }　{ {?,{?}},{?} }　......

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【４】并集存在公理：

?ａ?ｂ?ｘ(　ｘ∈ｂ　←→　?ｙ(ｘ∈ｙ ∧ ｙ∈ａ)　)

/////////////////////////　構建∪符號

(　存在b 以x為元素　)　當且僅當　(　存在y 以x為元素　并且　y屬于a　)

a的元素的元素是x　　　單獨考察某個a　

對于某ａ　?b和?y是有些區(qū)別?。粂∈a所限制?。膫€數(shù)＝某ａ的元素個數(shù)

y1～yn每個y對應一些元素ｘ　

而ｂ沒有被限制　無論假設幾個ｂ?。獾脑囟际且粯拥?/p>

所以ｂ是唯一的?。獾脑厥撬校?/p>

例如　y1={x1,x2}　y2={x3,x4}　a={y1,y2}={ {x1,x2},{x3,x4} }

所以　b={x1,x2,x3,x4}

寫法　廣義并：b＝∪a　　b＝∪{y1,y2} 　 常規(guī)并：b＝y(tǒng)1∪y2

建造完∪ 就可以用之前的二元集合 來創(chuàng)建二元以上的多元集合{x1,x2,x3,x4.....}

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【５】子集公理｜分離公理模式：

?ａ?ｒ?ｘ(　ｘ∈ｒ　←→?。剩帷　摹。?ｘ)　)

/////////////////////////　用關系公式Ｐ表示集合　

（ 存在ｒ 以x為元素 ）　當且僅當 （ｘ屬于ａ　并且?。鴿M足Ｐ條件 ）

ｘ是ａ中所有滿足Ｐ條件的元素　由于是充要推導　所以ｘ也都屬于ｒ

ｒ是ａ的子集　用Ｐ條件從ａ里分離出來

如此得到新的集合表示方法　ｒ＝｛ｘ：Ｐ(ｘ)∧（ｘ∈ａ）｝?。峥梢允侨我饧?/p>

ｘ∈ａ可以隱含在Ｐ(ｘ)里?。颍剑海?ｘ)｝

例如　交集　并集的定義

｛ｘ：ｘ∈ｄ　∧?。剩恪。健。恪桑?/p>

｛ｘ：ｘ∈ｄ　∨?。剩恪。健。恪龋?/p>

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【６】冪集公理：

?ａ?ｐ?ｂ(　ｂ∈ｐ　←→　?ｔ(?。簟剩狻簟剩帷?　)

/////////////////////////　構建冪集

(　存在p 以b為元素)　當且僅當　(　b是a的子集　)

后半部　?t(　t∈b　→　t∈a　)　是子集的定義

對于所有t?。╰屬于b　一定有　t屬于a）　所以b是a的子集　 同b?a

將ａ的所有子集b１～ｂｎ裝進ｐ里　　這個ｐ稱做ａ的冪集　

ｐ＝　Powerset（ａ）＝｛ｂ：ｂ?ａ｝

例如｛2，3｝的冪集?。?　，｛２｝，｛３｝，｛２，３｝?。?/p>

ａ的各元素ｔ自由組合成子集　?。顐€元素集合的冪集有２的ｎ次冪個元素　

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【７】無窮公理：

?ｓ（　?∈ｓ　∧　?ｘ（?。剩蟆　。ǎ龋剩蟆。。?/p>

/////////////////////////　可以用來構建自然數(shù)

存在某ｓ（ｓ中至少有空集）并且（ｘ屬于ｓ　一定有?。停牟⒓矊儆冢螅?/p>

用元素ｘ來遞歸創(chuàng)造無數(shù)元的集合ｓ　?。ǎ龋┓Q為ｘ的后繼ｘ＋　

x屬于ｓ　則ｘ的后繼也屬于ｓ　　每個ｘ都會對應一長串后繼　　這種ｓ也叫歸納集

不是任何元素后繼的元素就是初始元素

假設ｓ中的初始非后繼元素只有一個?　　這種ｓ＝ω　稱做最小歸納集

那么?就是起始元素?。埃?　?。保健?∪｛?｝＝｛?｝　

２＝｛?｝∪｛｛?｝｝＝｛?，｛?｝｝

３＝｛?，｛?｝｝∪｛｛?，｛?｝｝｝＝｛?，｛?｝，｛?，｛?｝｝｝

這個ω可以用來象征自然數(shù)集合｛０，１，２，３．．．．｝

３為２的后繼　　4為3的后繼?。?/p>

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【８】替換公理模式：

?x?!y Ｐ(x,y) → ?m?n?b（ ｂ∈ｎ ←→ ?ａ（ ａ∈ｍ ∧ Ｐ(a,b) ））

/////////////////////////　可以用Ｐ規(guī)則將ａ映射／替換為ｂ

如果P為函數(shù) 則→(存在n以b為元素　當且僅當 (存在a使 a屬于m　且　滿足P(a,b)))

函數(shù)P在m限制下　P的定義域domP被m縮小　因為P的參數(shù)a只能在m中取值了 不再?x

被縮小后的函數(shù)記做(P↑m)　函數(shù)(P↑m)的值域ran(P↑m)　稱做P在m下的象

ran(P↑m)＝{b:?a(a∈m∧P(a,b))}＝ｎ

公理聲明：　任意給定的集合ｍ和函數(shù)Ｐ　　P在m下的象一定存在且形成一集合ｎ

前半部是對函數(shù)的篩選　　?!y表示只存在一個ｙ　

?x?!y P(x,y)　等價于　?x?y（　P（x,y）∧　?t（P（x,t）→ｔ＝ｙ））

關系 P（x,t）對于某ｘ　所有的ｔ都只能等于ｙ?。糁挥形ㄒ粚?/p>

這樣的關系　P（x,y）　叫做Ｐ函數(shù)　

Ｐ關系與Ｐ函數(shù)的區(qū)別：　

每個參數(shù)ｘ只對應出一個ｙ　Ｐ為函數(shù)

每個參數(shù)ｘ可對應出多個ｙ?。袨殛P系　　關系大于且包括函數(shù)概念

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【9】正則公理：

?ｓ(　?ａ（ａ∈ｓ）→　?ａ（　ａ∈ｓ　∧　?ｔ（ｔ∈ａ→ｔ?ｓ）?。?

/////////////////////////　可以用來去除一些無限套娃類的寫法　

（對所有非空集合s　存在元素a）一定會→（存在元素a　而且　a與s交集為空）　

后半部　?ｔ（ｔ∈ａ→ｔ?ｓ）等價于交集為空　　

對任意t元素　t屬于a　一定有　t不屬于s　所以a和s無共同元素　a∩s＝?

前半部　?ａ有聲明ａ元素存在　說明只討論ｓ不是空集的情況

也就是　正則公理要求　非空ｓ中要存在某元素與ｓ自身交集為空

ａ稱為ｓ中的∈極小元 　　∈關系是良基的

極小元要求ａ只可以屬于ｓ中的其它元素　但不可以把ｓ中的元素拿來給自己當元素　

所以a和s無共同元素　a∩s＝?

這樣就保證ａ是ｓ中這些∈關系鏈的最底層　　不會出現(xiàn)無限循環(huán)嵌套的情況　

例如　ｓ＝｛ｓ｝＝｛｛ｓ｝｝　?。剩剩剩≈惖膶懛ǘ己凸頉_突

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【10】選擇公理：

?x( ?a( a∈x → a≠? ) → ?f( Fun(f) ∧ ?a( a∈x → f(a)∈a ) ) )

/////////////////////////　創(chuàng)造選擇函數(shù)

(a在x中 一定致 a不為空)則→((存在 f為函數(shù))且(x中的a 一定使 f(a)是a的元素))

Fun(f)是一個函數(shù)判斷模塊　當ｆ是函數(shù)時　Fun(f)=真　ｆ不是函數(shù)時　Fun(f)=假

ｘ是一個由非空集合組成的集合?。崾牵心硞€非空集

f(a)稱做選擇函數(shù)　f(a)可以選取ａ中的某個元素

選擇公理宣稱　對于非空集的選擇函數(shù)一定存在

通常一個無限的　元素沒有識別特征的集合　靠枚舉和特征公式都選不出元素來

只能隨機選取一個　但數(shù)學是用嚴格的邏輯和演繹來搭建的　無法產(chǎn)生真正的隨機

所以這個公理假裝隨機是存在的

這個公理不是公理模式和替換公理不同　所以模塊Fun(f)的內(nèi)部結構會復雜一些

Fun(f)??t(t∈f →　(?m?n(t=<m,n>) ∧ ?m(m∈dom(f)→?!n(<m,n>∈f)) ))

t滿足f 則→(　(存在有序對<m,n>=t)并且(對任意f定義域中的m→只有1個值n滿足f))

一個定義域中的ｍ只對應一個值域中的ｎ　正是函數(shù)的定義

其中ｆ的定義域　dom(f)模塊的內(nèi)部結構:　

dom(f)?{ m: ?n(<m,n>∈f) }　　　　另外值域ran(f)?{ n: ?m(<m,n>∈f) }　

<m,n>　<x,y>之類表示有序對　有序對也是亠種特殊的集合　元素之間有順序

<m,n> ≠ <n,m>　　而無序對　{m,n}＝{n,m}　

有序對可以轉化為普通集合的寫法:　<m,n>＝{{m},{m,n}}

其中一個元素是另一個元素的子集　這樣兩個元素的先后順序就被記錄下來了

另外函數(shù)ｆ和關系ｆ　也都是一種集合　?。媸且环N以有序對為元素的集合

例如　ｆ＝｛<x1,y1>, <x2,y4>, <x3,y1>, <x4,y2>.......｝

f中記錄了每個x與y的映射關系

x1～xn 全在定義域集合domf中　　y1～ym 全在值域集合ranf中

f(x)是求f中ｘ的對應值　f(x)=y

公理中的<m,n>∈f寫法　就表示ｍ和ｎ是滿足ｆ的一對組合

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