和拋物線有關(guān)，但關(guān)系不大（2019浙江圓錐曲線）

2022-09-08 22:21 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過(guò) | 我要投稿

（2019浙江，21）已知點(diǎn) $F%5Cleft(%201%2C0%20%5Cright)%20$ 為拋物線 $y%5E2%3D2px$ （ $p%3E0$ ）的焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn) $F$ 的直線交拋物線于 $A$ 、 $B$ 兩點(diǎn)，點(diǎn) $C$ 在拋物線上，使得 $%5Cbigtriangleup%20ABC$ 的重心 $G$ 在 $x$ 軸上，直線 $AC$ 交 $x$ 軸于點(diǎn) $Q$ ，且點(diǎn) $Q$ 在點(diǎn) $F$ 的右側(cè)，記 $%5Cbigtriangleup%20AFG$ 、 $%5Cbigtriangleup%20CQG$ 的面積分別為 $S_1$ 、 $S_2$ .

（1）求 $p$ 的值及拋物線的準(zhǔn)線方程.

（2）求 $%5Cfrac%7BS_1%7D%7BS_2%7D$ 的最小值及此時(shí)點(diǎn) $G$ 的坐標(biāo).

解：（1）由題可知 $%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%3D1$ ，

所以 $p%3D1$ ，

拋物線的準(zhǔn)線方程為 $x%3D-1$ .

（2）設(shè) $%5Coverrightarrow%7BAF%7D%3D%5Clambda%20%5Coverrightarrow%7BAB%7D$ ， $%5Coverrightarrow%7BAQ%7D%3D%5Cmu%20%5Coverrightarrow%7BAC%7D$ ，

其中 $%5Clambda%20$ 、 $%5Cmu%20%5Cin%20%5Cleft(%200%2C1%20%5Cright)%20$ ，

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=G" alt="G">是 $%5Cbigtriangleup%20ABC$ 的重心，所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Coverrightarrow%7BAG%7D%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Coverrightarrow%7BAC%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D%5Coverrightarrow%7BAF%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmu%7D%5Coverrightarrow%7BAQ%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Clambda%7D%5Coverrightarrow%7BAF%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Cmu%7D%5Coverrightarrow%7BAQ%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=F" alt="F">、 $G$ 、 $Q$ 三點(diǎn)共線，所以

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Clambda%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Cmu%7D%3D1%7D$ ……（ $%5Cstar%20$ ）

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Ccolor%7Bred%7D%7BS_%7B%5Cbigtriangleup%20ABG%7D%3DS_%7B%5Cbigtriangleup%20ACG%7D%7D" alt="%5Ccolor%7Bred%7D%7BS_%7B%5Cbigtriangleup%20ABG%7D%3DS_%7B%5Cbigtriangleup%20ACG%7D%7D">，所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%09%5Cfrac%7BS_1%7D%7BS_2%7D%26%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7BS_1%7D%7BS_%7B%5Cbigtriangleup%20ABG%7D%7D%7D%7B%5Cfrac%7BS_2%7D%7BS_%7B%5Cbigtriangleup%20ACG%7D%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7BAF%7D%7BAB%7D%7D%7B%5Cfrac%7BQC%7D%7BAC%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7BAF%7D%7BAB%7D%7D%7B1-%5Cfrac%7BAQ%7D%7BAC%7D%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7B1-%5Cmu%7D%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B1-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Cmu%7D%7D%7D%7B1-%5Cmu%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4-%5Cleft(%203%5Cmu%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmu%7D%20%5Cright)%7D%5C%5C%09%26%5Cgeqslant%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4-2%5Csqrt%7B3%7D%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%7D%5C%5C%5Cend%7Baligned%7D$

當(dāng)且僅當(dāng) $3%5Cmu%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmu%7D$ ，

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cmu%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7D$ 時(shí)，取得最小值.

代入（ $%5Cstar%20$ ），解得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Clambda%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3-%5Csqrt%7B3%7D%7D%7D$ .

設(shè) $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 $%5Cleft(%20x_1%2Cy_1%20%5Cright)%20$ 、 $%5Cleft(%20x_2%2Cy_2%20%5Cright)%20$ 、 $%5Cleft(%20x_3%2Cy_3%20%5Cright)%20$ ，則

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7By_1%7D%7By_1-y_2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3-%5Csqrt%7B3%7D%7D%7D$ ……①，

（注意，第二問(wèn)到這一步為止都與拋物線無(wú)關(guān)）

由（1）知拋物線的方程為 $y%5E2%3D4x$ ，

設(shè)直線 $AB$ 的方程為 $x%3Dmy%2B1$ ，

兩者聯(lián)立得 $y%5E2-4my-4%3D0$ ，

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7By_1y_2%3D-4%7D$ ……②

聯(lián)立①、②解得

$%5Ccolor%7Bred%7D%7By_1%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B6%7D%7D$ ， $%5Ccolor%7Bred%7D%7By_2%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B6%7D%7D$ ，所以

$%5Ccolor%7Bred%7D%7By_3%7D%3D-%5Cleft(%20y_1%2By_2%20%5Cright)%20%3D-%5Cleft(%20%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B6%7D%2B%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B6%7D%20%5Cright)%20%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B-2%5Csqrt%7B2%7D%7D$ ，

所以

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_1%7D%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(%20%5Csqrt%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B6%7D%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B2%2B%5Csqrt%7B3%7D%7D$ ，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_2%7D%3D%5Cfrac%7By_%7B2%7D%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(%20%5Csqrt%7B2%7D-%5Csqrt%7B6%7D%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B2-%5Csqrt%7B3%7D%7D$ ，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_3%7D%3D%5Cfrac%7By_%7B3%7D%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(%20-2%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B2%7D$ ，